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1、求线段和的最小值三门九年制学校温晓艳一、复习回顾一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别是AC=500m，BD=700m，且C、D两地间距离也为500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．并求出最短路程。ABDC700m500m500mA’PE（易知Rt△ABC,A’E=1200m,BE=500m,可得A’B=1300m。）lABA’P模型：①一条直线l；②线同侧有两个不同点A、B，要求：在线l上找一点，满足PA+PB最短。方法：选择
2、合适的一点A，作其关于直线l的对称点A’，连接A’B，交直线l于点P，此时PA+PB最短。（1）如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB边上一点.若AE=2,EM+BM的最小值为.EDCBAM析：由图知，B关于AD的对称点为C，连接EC交AD于点M，此时EM+BM最小为EC.二、教学过程1、在三角形中求线段和的最小值法一：MEDCBA62FMEDCBA62F法二：过点E作EF⊥AD，垂足为F。由可得EF=1,AF=,FD=.由可得FM=，MD=.在中，可得EM=,MC=.因此CE=.过点E作EF
3、⊥BC，垂足为F。在Rt△BEF中，∠B=60°，BE=4.可得EF=,BF=2.在Rt△EFC中，FC=4，因此CE=2、在四边形中求线段和的最小值（2）、如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．AEDCBFP析：由图知，B关于EF的对称点为C，连接AC交EF于点P，此时PA+PB值最小为AC。解，由题得∠D=∠DAB=120°，∵DA=DC,∴∠DAC=∠DCA=30°,∴∠BAC=90°.在Rt△ABC中，AC=（3）、如图，菱形ABCD中，
4、AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为___．DECBA2P析：由图知，B关于AC的对称点为D，连接DE交AC于点P，此时PE+PB值最小为DE。解：∵∠BAD=60°，菱形ABCD∴△ADB为等边三角形，∵E为AB中点∴DE⊥AB，在Rt△DEA中，DA=2,∴DE=（4）、如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为___cm．（结果不取近似值）．AQDCBP析：△PBQ周长=PB+PQ+BQ
5、=PB+PQ+1，要求△PBQ周长的最小值即求PB+PQ的最小值。解：在Rt△DQC中，DC=2，QC=1，可得DQ=，则△PBQ的周长最小值为（）cm。由图知，B关于AC的对称点为D，连接DQ交AC于点P，此时PB+PQ值最小为DQ。3、在圆中求线段和的最小值（5）、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()PA’MONBA30°析：作点A关于MN的对称点A’，连接A’B交MN于点P，此时PA+PB最小为A’B.解：连接OB、OA’，∵∠AM
6、N＝30°∴∠AON＝60°=∠A’ON,∵B为弧AN中点,∴∠BON=30°，∴∠BOA’=90°.△OBA’为等腰直角三角形，因此A’B=.4、在反比例函数图象中求线段和的最小值（6）、如图，正比例函数的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作X轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.①求反比例函数的解析式；②如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在X轴上求一点P，使PA+PB最小.yxMOABPA’解：①、②、5、在二次函数图象中求线段和的最小值（7）、抛物
7、线顶点为A，与Y轴交点为B。点P是x轴上的一个动点,则PA+PB的最小值是多少？B’PyxBAO解：易得A(2,1),B(0,2),作点B关于x轴的对称点B’（0，-2）连接AB’交x轴于点P,此时PA+PB最小为AB’=检测：1、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为______．2、如图，菱形ABCD中，AB、AD的中点E、F，P为BD上任一点，当P在何处时，PE+PF最小，最小值是多少？3、如图，已知正方形ABCD的边长为
8、8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．PCBAEBPADCFADBCMN4、如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上
