用轴对称知识求线段和的最小值

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1、.浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1,在直线L上任意定一点M，连接BB1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。在该例

2、题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。要使AM+B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与AB1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。word资料.证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。解：作出A1B（作法如上

3、图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为4千米，即PA+PB的最小值为4千米。word资料.图（1）2、如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。图（1）图（2）解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1交x轴于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线

4、的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。word资料.3、求函数y=+的最小值。解：方法（Ⅰ）把原函数转化为y=+，因此可以理解为在X轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。方法（Ⅱ）如图（9），分别以PM=（3-x）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x）和（x+3）在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB，两条斜边的长就是PA=和PB=，因此，求y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是y的

5、最小值。（6）。三、拓展（一）三条线段的和最小的问题：如图3，已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站在∠word资料.AOB内的P点，乙站在OA边上，丙站在OB边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P关于OA、OB的对称点、，连接，交OA于，交OB于，则点和点应分别是乙、丙的位置。这样连接、则三人行的路程和为。规律总结：轴对称在本题中的主要作用是将

6、线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值1、word资料.如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）（A）6a,(B)5a,(C)4a,(D)2a。解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a。所以选（D）。2、已知在菱形AB

7、CD中，∠A=600，AD=8，M、N分别是AB，BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM＋PN的最小值。分析：因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上，而CD边的中点G，是N关于对称轴AC的对应点所以，PG＝PN，因此求PM＋PN的最小值就转化为求PM＋PG的最小值，连接MG，在△PMG中，PM＋PG的最小值就是MG，即PM＋PG≥MG（仅当M、P、G三点共线时取得最小值）。word资料.解：取CD的中点G，连接PG ∵AC是菱形ABCD的对角线  ∴∠PCG＝∠PCN又CB＝CD，N是BC边的中点 ∴CN＝CG又PC＝PC，∴△PCG≌

8、△PCN ∴PG＝PN连接MG。∵     ∴四边形AMGD为平行四边形∴MG＝AD＝8在△PMG中，（仅当P、M、G三点共线时取等号）∴即，故PM＋