利用轴对称求线段和的最小值（1）

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1、浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1,在直线L上任意定一点M，连接BB1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称

2、轴上任意一点的距离相等。在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。要使AM+B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与AB1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB

3、的值最小。求这个最小值。解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为4千米，即PA+PB的最小值为4千米。图（1）2、如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。图（1）图（2）解：如图（2），只要画出点Q关于x轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1交x轴

4、于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。3、求函数y=+的最小值。解：方法（Ⅰ）把原函数转化为y=+，因此可以理解为在X轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。方法（Ⅱ）如图（9），分别以PM=（3-x）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x）和（x+3）在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB，两条斜边的长就是PA=和PB=，因

5、此，求y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是y的最小值。（6）。三、拓展（一）三条线段的和最小的问题：如图3，已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA边上，丙站在OB边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P关于OA、OB的对称点、，连接，交OA于，交OB

6、于，则点和点应分别是乙、丙的位置。这样连接、则三人行的路程和为。规律总结：轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值1、如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）（A）6a,(B)5a,(C)4a,(D)2a。解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC

7、+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a。所以选（D）。2、已知在菱形ABCD中，∠A=600，AD=8，M、N分别是AB，BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM＋PN的最小值。分析：因为动点P在菱形ABCD的对角线AC上，而CD边的中点G，是N关于对称轴AC的对应点所以，PG＝PN，因此求PM＋PN的最小值就转化为求PM＋PG的最小值，连接MG，在△PMG中，PM＋PG的最小值就是MG，即PM＋PG≥MG（仅当M、P、G三点共线时取得最小值）。解：取CD的中

8、点G，连接PG ∵AC是菱形ABCD的对角线  ∴∠PCG＝∠PCN又CB＝CD，N是BC边的中点 ∴CN＝CG又PC＝PC，∴△PCG≌△PCN ∴PG＝PN连接MG。∵     ∴四边形AMGD为平行四边形∴MG＝AD＝8在△PMG中，（仅当P、M、G三点共线时取等号）∴即，故PM＋PN的最小值为8。（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值已知如图：正方形ABCD的