构建轴对称模型求线段和的最小值(1)

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1、构建轴对称模型求线段和的最小值张店区沣水中学高刚近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型，解决实际问题。能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学的能力。引例：例：如图(1)，草原上两居民点A，B在笔直河流l的同旁，一汽车从A处出发到B处，

2、途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l及l同侧的点A和点B，在l上确定一点C,使AC+BC最小。首先我们思考若点A和B点分别在直线l的两侧，则点C的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C应是与AB直线l的交点，如图（2），这就是说，设线段AB交l于点C，点C/是直线上异于点C的任意一点，总有AC+BC＜AC/+BC/。因此，解决上述问题的关键是将点A（或点B）移至l的另一侧（设点A移动后的点为A/），且使A、A/到直线l

3、上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。解：如图（3），作点A关于直线l的对称点A/，连接A/B交l于点C，则点C的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C处可使行驶的路程最短。l（1）ABABCC/（2）l（3）ABA/C总结：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点C，那么点C就是所求作的点。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。例1.如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60

4、°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。图4分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值，图5图6由∠BAD=60°，AB=AD，AE=BE知，故PE+PB的最小值为。跟踪练习1：如图7，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长

5、为1，则AP+BP的最小值为_______________。图7跟踪练习2.如图8，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值.图8例2.如图9，抛物线与x轴交于、两点。（1）求该抛物线的解析式。（2）设（1）中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？如果存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。图9重点分析第（2）问，要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ+QA最小时，周长最小。设抛物

6、线的对称轴为直线MN，则可分解出图形，构建模型，要在直线MN上找点Q，使CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知，点A、点B关于直线MN对称，连结BC交MN于点Q，只要找出点Q的位置，其坐标不难求得。跟踪练习3:点A的坐标为（0，2）点，点B是半径为的⊙B的圆心，点B的坐标为（4，2），请你探索在x轴上是否存在一个点C以及在⊙B上是否存在一个点D，使得AC+CD最小，若存在，请你在图中作出点C和点D，并求出点C、D的坐标和AC+CD的最小值；若不存在请说明理由。跟踪练习4：如图10，抛物线交x轴于A、B两点

7、，交y轴于点Ｃ，顶点为D．　　（1）求A、B、C的坐标．　　（2）把△ABC绕AB的中点M旋转，得到四边形AEBC：①求E点坐标．②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由．　　（3）试探索：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．学生总结：分层作业：A组：1、如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为_____________。图112、如

8、图12，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________.图12B组：1、如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A；①证明：当AD+C