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时间:2018-07-30
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1、构建轴对称模型求最小值近几年来,最小值问题成为中考命题的热点,其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。 在现行教材“轴对称”一节中有一例题:如图1,在直线l同侧有两点A、B,在直线l上求作一点P使PA+PB最小。图1 图2其作法如图2:作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交直线l于点P,那么点P就是所求作的点。以此作为模型可以解决下列求最小值的问题。 例1 如图3,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是________
2、。图3分析:首先分解此图形,构建如图4模型,因为E、B在直线AC的同侧,要在AC上找一点P,使PE+PB最小,关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图5,由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称,连结DE,此时DE即为PE+PB的最小值, 图4 图5由∠BAD=60°,AB=AD,AE=BE知,,故PE+PB的最小值为。 例2 如图6,已知点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是半径ON上的动点,若⊙O的半径长为1,则AP+BP的最小值为______________
3、_。图6分析:分解出图形,构建如图7模型,转化为在ON上,求作一点P,使PA+PB最小。根据圆的对称性,易知点A关于ON的对称点A′在⊙O上,如图8,连结A′B,A′B即为PA+PB的最小值,又因为A′三等分半圆,∠A′OP=60°,∠BOP=30°,∠A′OB=90°,则由勾股定理得:A′B=,故PA+PB的最小值为。 图7 图8例3.如图9,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。图9(1)求该抛物线的解析式。 (2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存
4、在点Q,使得的周长最小?如果存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。 重点分析第(2)问,要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小,由于AC长度一定,故只要CQ+QA最小时,周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN,则可分解出如图10图形,构建模型,要在直线MN上找点Q,使CQ+QA最小。由抛物线的对称性可知,点A、点B关于直线MN对称,连结BC交MN于点Q,只要找出点Q的位置,其坐标不难求得。图10例4 如图11,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是边AB上一动点,则EC+ED的最小值为______________
5、_。 图11 图12分析:如图12,作点C关于AB的对称点F,连结FD交AB于点E,连结AF、BF,易证四边形ACBF是正方形,从而求出DF长为,即EC+ED的最小值为。 综上所述,解决这类最小值问题的关键是构建适当的数学模型,从而使问题化难为易,轻松求解。
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