利用轴对称变换求最小值应用举例

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1、利用轴对称变换求最小(大)值应用举例姓名纵观近几年中考题,虽有一定难度,但难而不怪,灵活性强,高而可攀。其次是精心设计,题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性,实现由知识到能力的过渡。因此,注重知识的延伸和迁移,通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段,培养创新思维能力。在学与练的过程中去体味奇妙的数学、领略数学的奥妙,从而提高数学解题能力。一、课本原型:如图(1)所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短?解:如图(2)①,只要画出A点关于直线L

2、的对称点C,连结BC交直线L于P,则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小,(因为两点之间线段最短)。证明:如图(2)②,在L上任取一点P1,连结P1A,P1B,P1C,因为P1A+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边,所以结论成立。AABB街道lD街道P1Pl图(1)②二、应用和延伸:C①图(2)例1、(七年级作业本题)如图(3),∠AOB内有一点P,在OA和OB边上分别找出M、N,使ΔPMN的周长最小。解:如图(4),只要画出P点关于OB、OA的对称点P1,P2,

3、连结PA1、P2交OB、OA于M、N,此时ΔPMN的周长PM+PN+MN=P1P2为最小。(证明略)BP1BBLCPDMPPA1HNOAOA图(4)例2图图(3)P2例2、如图,A到直线L的距离AC=3千米,B到直线L的距离BD=1千米,并且CD=4千米,在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。求这个最小值。解:如图所示,只要过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在Rt△A1BH中,A1H=4千米,BH=4千米,用勾股定理求得A1B的长度为42千米。三、迁移和拓展:-1-0例3、(温州2003年中考题)

4、如图(5),在菱形ABCD中,AB=4a,E在BC上,EC=2a,∠BAD=120,AA点P在BD上,则PE+PC的最小值是()E1PP(A)6a,(B)5a,DBDBEEC(C)4a(D)23a。C图(5)图(6)解:如图(6),因为菱形是轴对称图形,所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在0AB的中点E1,只要连结CE1,CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有30角的直角三角形,PC+PE=CE1=23a。所以选(D)。例4、如图(7),在直角坐标系XOY中,X轴上的动点M(X,0)到定

5、点P(5,5)和到Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标X=____.(你能求出当MP-MQ最大时点M的横坐标X=?)YAY66P(5,5)P(5,5)554P4332(2,1)Q2图(8)1(2,1)Q1O-1O123456X-1B-1O12M3456X图(7)-1Q1图(9)解:如图(8),只要画出点Q关于X轴的对称点Q1(2,-1),连结PQ1交X于点M,则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式,(y=2x-5),令y=0,求得x=5/2。(也

6、可以用勾股定理和相似三角形求出答案)。(四)、思考与练习:01、(2002湖北黄岗竞赛题)如图(9),∠AOB=45,角内有一点P,PO=10,在角两边上有两点Q、R(均不同于点O),则①△PQR的周长最小值是____________。(提示:同例1方法,答案:P1P2=102)。0②当ΔPQR周长最小时,∠QPR的度数=_________。(答案:90)2、已知点A(-2,1),点B(3,4)。在X轴上求一点P,使得PA+PB的值最小。这个最小值是_______________。(同例4方法)3、(2006宁波

7、市阳光杯)已知点A(1,3)、B(5,-2),在x轴上找一点P,使AP-BP最大,则满足条件的点P的坐标是。(提示:结合例4,用引例的思想方法)4、(北京市中考题)如图(11),在矩形ABCD中,AB=20㎝,BC=10㎝,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,求这个最小值。提示:要使BM+MN的值最小,应设法把折线BM+MN拉直,从而想到用轴对称性质来做。画出点B关于直线AC的对称点B1,则B1N的长就是最小值;又因为N也是动点,所以,当B1N⊥AB时这个值最小,利用勾股定理和三角形面积公式可以

8、求得这个最小值为16。初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。-2-ADCMP图(11)BDE图(12)ANBC05、(希望杯2001初二数学邀请赛试题),如图(12)在菱形ABCD中,∠DAB=120,点E平分BC,点P在BD上,且PE+PC=1,那么边长AB的最大值是______。2(因为当PE+PC最小时,AB=CD达到最大,这个最大值是3)。36、(美国中学生竞

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