利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例

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1、利用轴对称性质求最小值（一）、课本原型：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？ABP1街道l图（1）（二）应用和延伸：例1、如图，∠AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使ΔPMN的周长最小。BPOA图（3）例2、在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。（三）、迁移和拓展：例1、如图，在菱形ABCD中，AB=4a,E在B

2、C上，0EC=2a，∠BAD=120,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）（A）6a(B)5a(C)4a(D)23a。例2.在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=__________。Y6P(5,5)5432(2,1)Q1-1O123456X-122例3、求Y=X6X10+X6X34的最小值。222解：方法（Ⅰ）、把原函数转化为Y=(x3)1+(X3)5，因此可以理解为在X轴上找一个点，使

3、它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。方法（Ⅱ），如图，分别以PM=（3-X）、AM=1为边和以PN=（X+3）、BN=5为边构建使（3-X）和（X+3）在同一直线上的两个直角△PAM、△PNB，两条斜边的长就是222PA=(X3)1和PB=(X3)5，因此，求Y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出BA的长，就是Y的最小值。（62）。B15A1NM（3-X）P（X+3）16GA1图（9）（四）、思考与练习：01、如图（10），∠AOB=45，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两

4、点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是____________。又问当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数0=________________。（100）。2、已知点A（-2，1），点B（3，4）。在X轴上求一点P，使得PA+PB的值最小。这个最小值是_______________。3、（北京市竞赛题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20㎝，BC=10㎝，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。DCM图（11）ANB04、（希望杯初二数学邀请赛试题）如图（12）在菱形ABC

5、D中，∠DAB=120，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是______。2（因为当PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是3）。A3PBDE图（12）C5、（美国中学生竞赛题）如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（）（提示：画点A关于小河岸的对称点A1，连结A1B即为最短距离。）（A）4+185英里（B）16英里（C）17英里（D）18英里

6、DC小河PAj牧童E图（14）图（13）BAB6、（新蕾杯竞赛题）如图（14），正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。7、如图（15），在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，则该船应该走的最短路线是______________.（先画图，再用字母表示）。8、（温州中考题）如图（16），AB是☉O的直径，AB=2，OC是☉O的半径，OC⊥AB，点D⌒⌒⌒在AC上,AD=2CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是__

7、________。DACDMOCP图（16）AB图(15)B2219、求式子X4X13+X4X6的最小值。410、在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m,0）,当四边m形ABCD的周长最短时，的值为______________。n（因为A、B是定点且长度不变，只要使其它的三条线段的和最小，所以考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。画点A关于X轴的对称点A1，点B关于Y轴的对称点B1，只要求出直线A1B1的函数解析式就可以求出点C和点D的坐标。）222211．

8、当x,y为何值时,式子9x49x12xy4y14y16y20的值最小.12．三角形边长分别为6，8，10，其中较大锐角的角平分线把原三角形分成两个三角形。求这两个三角形中较大的三角形面积。013．如图，已知AHBC于H，c35，且ABBHHC,求B的度数.