利用轴对称变换求最小值应用举例

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1、利用轴对称变换求最小（大）值应用举例姓名纵观近几年中考题，虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。其次是精心设计，题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性，实现由知识到能力的过渡。因此，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养创新思维能力。在学与练的过程中去体味奇妙的数学、领略数学的奥妙，从而提高数学解题能力。一、课本原型：如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2）①，只要画出A点关于直线L的对称点C，连结BC交直线L于P，则P点就是所求。这时

2、PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。证明：如图（2）②，在L上任取一点P1，连结P1A，P1B，P1C，因为P1A+P1B=P1C+P1B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。AABB街道lD街道P1Pl图（1）②二、应用和延伸：C①图（2）例1、（七年级作业本题）如图（3），∠AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使ΔPMN的周长最小。解：如图（4），只要画出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连结PA1、P2交OB、OA于M、N，此时ΔPMN的周长PM+PN+MN=P1P2为最小。（证明略）BP1B

3、BLCPDMPPA1HNOAOA图（4）例2图图（3）P2例2、如图，A到直线L的距离AC＝3千米，B到直线L的距离BD＝1千米，并且CD＝4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。解：如图所示，只要过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米。三、迁移和拓展：-1-0例3、(温州2003年中考题)如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=120,AA点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）E1PP（A）6a,(B)5a,D

4、BDBEEC(C)4a(D)23a。C图（5）图（6）解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在0AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有30角的直角三角形，PC+PE=CE1=23a。所以选（D）。例4、如图（7），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=____.（你能求出当MP-MQ最大时点M的横坐标X=？)YAY66P(5,5)P(5,5)554P4332(2,1)

5、Q2图（8）1(2,1)Q1O-1O123456X-1B-1O12M3456X图（7）-1Q1图（9）解：如图（8），只要画出点Q关于X轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1交X于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。（四）、思考与练习：01、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（9），∠AOB=45，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则①△PQR的周长最小值是____________。（提示：同例1方法，答案：P1P2

6、=102）。0②当ΔPQR周长最小时，∠QPR的度数=_________。（答案：90）2、已知点A（-2，1），点B（3，4）。在X轴上求一点P，使得PA+PB的值最小。这个最小值是_______________。（同例4方法）3、（2006宁波市阳光杯）已知点A（1，3）、B（5，－2），在x轴上找一点P，使AP-BP最大，则满足条件的点P的坐标是。（提示：结合例4，用引例的思想方法）4、（北京市中考题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20㎝，BC=10㎝，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。提示：要使BM+MN的值最小，应

7、设法把折线BM+MN拉直，从而想到用轴对称性质来做。画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当B1N⊥AB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。-2-ADCMP图（11）BDE图（12）ANBC05、（希望杯2001初二数学邀请赛试题），如图（12）在菱形ABCD中，∠DAB=120，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是______。2（因为当PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是3）。36、（美国中学生竞