利用轴对称求线段和的最小值问题.ppt

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1、利用轴对称求线段和的最小值问题泉港区美发中学数学组张素苹问题1如图1，有一位将军从A地出发到小溪边饮马，然后再到B地军营视察，请问走什么样的路线最短呢？(一)故事导入，提出课题l（小溪）图1依据：两点之间，线段最短问题2如图2，有一位将军从A地出发到小溪饮马，然后再到B地军营视察，问走什么样的路线最短呢？l（小溪）图2？B′·P·最短路径1、解决问题（二）、解决问题，形成技巧l（小溪）B′··P方法：①作对称点②连线定交点即：化折为直（点A,点P,点B′三点共线）原理：两点之间，线段最短2、发现规律问题3下列各图中，点E为

2、各图形中的定点，点P在各直线上运动到何处时，所求两条线段的长度和最小？①图3中，在△ABC中，AB=AC，点P是顶角平分线AD上的动点，点E是AB上的定点，何时PB+PE最小？②图4中,点P是菱形ABCD对角线AC上的动点，点E是AB上的定点，何时PB+PE最小？（二）、解决问题，形成技巧图3图4··P③图5中，点P是正方形对角线BD上的动点，点E是边CD上的定点，何时PC+PE最小？④图6中，点B、E分别是⊙0上的五等分点，点P是⊙O的直径DC上的动点，何时PB+PE最小？图5图6DEBOCP在画图的过程中，如何寻找对称

3、轴？答：动点所在的直线就是对称轴DEBOCP3、挑战1．如图7，直线与坐标轴相交于点A、B，点C的坐标是C(2，0)，点P在直线AB上运动，当△OCP的周长最小，点P的坐标为__________.图7O′P┓（3,-3）AB（二）、解决问题，形成技巧（2,0）(,-)解：作点O关于直线的对称点O′,连结CO′交直线于点P,点P即为所求的点，根据作图可得O′(3，-3)，∴直线CO′的解析式为：，可得直线与直线的交点为：3、挑战2．如图8，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN周长

4、最小．图8A′A″MN挖掘本质.gsp4、挖掘本质，归纳方法求线段之和的最小值问题，方法都是_______及___.A′A"MN转化和化归思想画对称点利用“两点之间，线段最短”原理连线化折为直5、链接中考1.（2012兰州）如图9，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）.A．130°B．120°C．110°D．100°图9A′A″MN⌒⌒B6、继续挑战1．如图11所示，已知二次函数y=ax2+bx+c图象经过点A（－1

5、，0），B（3，0）和点C（－2，5），点P在抛物线的对称轴上运动，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标?图11P·解：分别把A（－1，0），B（3，0）和点C（－2，5），代入y=ax2+bx+c得，抛物线的对称轴为，连结AB交直线于点P,点P即为所求的点，又直线CB过点C（－2，5），B（3，0），可得直线CB为,可得直线与直线的交点为:(1，2)6、继续挑战2．变式：如图12所示，已知二次函数y=ax2+bx+c图象经过点A（－1，0），B（3，0）和点C（－2，5），点P、Q抛物线的对称轴上运动，且PQ=2，当四边

6、形ACPQ周长取最小值时，求点P的坐标?·平移聚头问题模型·P解：沿着QP方向平移线段AQ到A′P，平移距离为线段PQ的长，分别把A（－1，0），B（3，0）和点C（－2，5），代入y=ax2+bx+c得，抛物线的对称轴为,作A′的对称点B′(3，2),连结CB′交直线于点P,点P即为所求的点，又直线CB′过点C（－2，5），B′（3，2），可得直线CB′为,可得直线与直线的交点为.A′B′(1)本节课你学了哪些知识？还有哪些疑惑的问题？(2)还有哪些知识需进一步研究的地方？（三）、梳理小结，升华思想（三）、梳理小结，升华

7、思想轴对称变换是解决问题的一种重要方法.弄清动点在哪条定直线上运动，这条定直线就是对称轴.关键：技巧：同侧点两点之间，线段最短.轴对称异侧点转化本节课更大的收获：（1）了解“利用两点之间线段最短求最值”的数学模型；（2）学会从复杂图形中分离出“利用两点之间线段最短求最值”的数学模型；（3）应用“利用两点之间线段最短求最值”的数学模型进行解题。四、布置作业导学案：1、2、3、谢谢大家！