求线段最小值

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1、“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校　左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．  一、在三角形背景下探求线段和的最小值  1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值  例1　如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为            ． 分析：在这里，有两个动

2、点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．  解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．  1.2在等边三角形中探求线段和的最小值  例2（2010山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上

3、的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为        .分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可． 解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4,∠ECF=60°，∠FEC=30

4、°，所以FC=2,EF==2． 因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE= =.  二、在四边形背景下探求线段和的最小值  2.1在直角梯形中探求线段和的最小值 例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法． 解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE

5、，交AB于点P，此时PC＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°． 因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.  2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值  例4　如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为             ．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题

6、的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键． 解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．  2.3在

7、菱形中探求线段和的最小值  例5　如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为           ．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点． 解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED= =．所以PE＋PB的最小值

8、为．  2.4在正方形中探求线段和的最小值  例6　如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为           ．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点． 解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋M