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《求线段和最小值试题(周长)解法探析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、求线段和（周长）最小值试题解法近年来很多省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题.这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义.现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析.一、“定一一动——定”型试题例1.（09山东威海）如图1,在直角坐标系中，点A,B,C和坐标分别为（一1,0）,（3,0）,（0,3）,过A,B,C三点的抛物线的对称
2、轴为直线/,D为对称轴/上一动点.求当AD+CD最小时点D的坐标.例2.（09福建彰州）如图2,©O的半径为2,点A、B、C在©O上，04丄05,ZAOC=60°,P是Ofi上一动点，求PA+尸C的最小值；图3评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定一一动一一定”型折线最小值问题，源于课本“在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆.以此考査学生的识别能力.这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查学生灵活运用知识的能力.三、“定
3、——动一一动一一定”型试题例4.（福建彰州）如图4,ZAOB=45°,P是ZAOB内一点，PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点，求APQR周长的最小值.A分析：点P是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线.解：分别作点P关于OA、OB的对称点P2,连结PiP2,根据轴对称性易知：OP产OP2=OP=10，ZP丨OP2=2ZAOB=90°，因而PjP2=2y/T0f故APpR周长的最小值为2抽.例5.（09湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、
4、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.评析：例4与例5涉及两个动点一个（或两个）定点，由于它们均是以定点为起止，动点在定点之间，因而属求“定一一动一一动一一定”型折线最小值问题，应选用“两点之间，线段最短”这一性质解题.
5、另外在分析问题时既要考虑条件间的相同点，也要关注条件间的区别，以正确地找出解题方法.从上面的几个例题可以看出，求几条线段和的最短（小）值问题一般需要进行图形变换，将其转化为以两个定点为端点动点在中间的折线或以一个定点为端点其余动点在一侧的折线，然后再根据“两点之间,线段最短”或“垂线段最短”这两条性质求出最小值.四、应用：1:在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。求这个最小值。P(5.5)2(2,1)Q2、如图（1）,在直角坐标系XOY中
6、，X轴上的动点M（X,0）到定点P（5,5）和到Q（2,1）的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标*=。3、求函数y=V%2—6x+10+^x2+6x+34的最小值。五、拓展（一）三条线段的和最小的问题：如图3,已知甲、乙、丙三人做接力游戏，幵始时，甲站在ZAOB内的P点，乙站在OA边上，丙站在OB边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。AC图（5）C（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值1、如图（5）,在菱形ABC
7、D中，AB=4a,E在BC上，EC=2a,ZBAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）（A）6a,（B）5a，（C）4a，（D）2^a。2、已知在菱形ABCD中，ZA=600,AD=8,M、N分别是AB,BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM+PN的最小值。（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值已知如图：正方形ABCD的边长是3，E点分边BC为2:1,P为对角线BD上一点，求PE+PC的最小值.（四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=AD=1,ZB=60°,
8、直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为。（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值己知如图，AB是Oo的直径，AB=2cm，OC丄AB，点D是弧AC的三等分点，P
