求线段和最小值试题解法探析

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1、求线段和最小值试题解法探析求线段和最小值试题解法探析江苏省泗阳屮学(223700)洪晓岐电子信箱hxq5678@1262009年部分省市的中考数学试卷中出现求几条线段Z和最小值的试题.这类试题通过考查点在直线上运动时与它和关线段和的最値情况，不但能了解学牛:综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的惠•义.现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析，以供同彳亍们在教学中参考并请指止.一、“定——动一一定”型试题例1.(山东威海)如图1,在直角坐标系

2、中，点A,B,C和坐标分别为(一1,0),(3,0),(0,3),过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线1,D为对称轴1上一动点.求当AD+CD最小时点D的坐标.分析：由于A、C两点在对•称轴1的同侧，所以要在对称轴1上找一点D使AD+CD最小，关键足求出A、C两点中任一点关于直线1的对称点.解:因为1是抛物线的対称轴，所以A、B两点关于直线1对称.设直线BC的解析式为ykxb,因为其过点B(3,0),C(0,3),所以k1,图1b3.即直线BC解析式为yx3,又因为对称轴为x1,所以点D坐标为(1,2).C在©O±,0A0B,例2.(福建彰州)如图2,的半径为2,点

3、A、B、AOC60°,P是OB上一动点，求PAPC的最小值；分析；题中A、C是两个定点，0B是一条定线段，因此确定点P,关键是要找出A、C两点中任一点关于直线OB的对称点.由丁•过圆心的任一直线都是圆的対称轴，所以直线AO与圆的另一交点A，就是点A关于直线OB的对称点.解：延长AO交00于点A,连结A，C交00于点P,由于在△(*C中0评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最小值问题，源于课木“在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离Z和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆.以此考查学生的识别能力.这类只改变题型背景等非关键因索以适当加深问

4、题的难度，隐蔽的应用课木上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查学生灵活运用知识的能力.二、“定——动一一动”型试题例3.（陕西省）如图3,在锐角ZXABC中，八B二42,ZBAC=45°,ZBACC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小DN值是分析；由丁•角平分线所在的直线是角的対称轴，所以点N关于AD的对称点一定BN在AC上.因此本题可以转化为在AD找一点M,在AC上找一点N',使BM+MN'图3的值最小.解：因为AD是ZBAC的平分线，所以点N关于直线AD的对称点N'—定在AC上.由垂线段最短可知当BN，丄AC时,线段BN'时最

5、小.因此当点M在直线BM上时BM+MN'的值最小，最小值即为点B到AC的距离.第1页共2页由丁ABsin454224,所以BMMN的最小值是4.2评析：本题涉及两个动点一个定点，屈求“定——动——动”型折线最小值问题，由于两个动点在定点的同侧，因此只能根据“垂线段最短”这一•性质入手进行解题.三、“定——动一一动一一定”型试题例4.（福建彰州）如图4,ZAOB二45°,P是ZAOB内一点,PO二10,Q、R分别是0A、0B上的动点，求APOR周长的最小值.分析：点P是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一-点使这三点连成的三角1形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定

6、点为端点的一条折线.P解：分别作点P关于01、0B的对称点Pl、P2,连结P1P2,根据轴对称性易知：0Pl=0P2=0P-10,ZP10P2二2ZA0B二90°，因而P1P2二2,故ZkPQR周长的最小值为2.2A图4例5.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、Y幽、险”著称于世.苦名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗C山（B）位于笔肓的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A.B到玄线X的Bl距离分别为10km和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速A公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,X请你在X旁和Y

7、旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边A1形的周长最小.并求出这个最小值.图5分析：由于AB长为定值，所以要使P、A、B.Q为顶点的四边形周长最小，就需使PA+QP+BQ之和最小.由例4可得启发，先作出点A,点B分别关于直线X与玄线Y的对称点，然后将两对称点连成线段，则这线段的长就是PA+QP+BQ的最小值.解：作点A关于X轴的対称点A1,点B关于Y轴的对称点B1,连结A1B1,分别交X轴、Y轴的交点就是所求的点P和点Q,即此时四边形PABQP4边形的周长最小.延长A1A和BlB使它们相交于点C,易知ZA1CB1是直角，A040—10二3