无穷小与无穷大ppt课件.ppt

《无穷小与无穷大ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章函数与极限第五节无穷小与无穷大一、无穷小的概念与性质二、无穷小的比较主要内容：三、无穷大1一、无穷小的概念和性质定义1在自变量的某个变化过程中,若函数的极限为零,那么叫作该变化过程中的无穷小.注变量是否为无穷小既与变量的表达式有关,也与自变量的变化过程有关.例如变量是时的无穷小.而时的无穷小.是注无穷小是以零为极限的变量,不能把它等同于一个很小的量.2定理1在自变量的某一变化过程中,函数有极限的充分必要条件是其中是此变化过程中的无穷小.证设令则即是的同一变化过程中的无穷小.反之,若其中则即的极限为3定理2⑴有限个无穷小之和是无穷小;无穷小的运算性质证由极限的运算法则容易

2、得到⑴和⑵,今证⑶.设⑶有界函数与无穷小之积是无穷小.⑵有限个无穷小之积是无穷小;考虑当时的情况.在的某个空心邻域中有界,即存在使得在该邻域中总有4由于在该邻域中总有再设又由夹逼定理得即此说明是时的无穷小.5例1求极限解因，故由定理2得下图是函数的图形,从图中可以看出,当时,对应的函数值虽然交替地取正负值但是却无限接近于0.67例2求极限解因又:所以:有界量与无穷小乘积8二、无穷小的比较观察当时函数的变化趋势.三条曲线的比较9在上图中可以看到:当时,几乎以相同观察,我们发现则以比更快的速度趋的速度趋于,而则以较快的速度趋于进一步地于1011从中我们可以看出,在无穷小之间也存在

3、一个“大小”我们考察极限关系.而这个关系不能用它们的差值来刻画,我们考虑是否能用它们的商来刻画,即通过比值来确定,并且这个比值用自变量的某个变化过程来做进一步的描述.具体地说,若变量是自变量在某个变化过程中的无穷小,即为此,我们引入:12定义2设是自变量在某个变化过程中⑴若则称是的高阶无穷小,⑶若⑵若的两个无穷小记作则称是的同阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作13例3证明当时，为的等价无证明因即为的等价无穷小.穷小.14熟记这些常用的等价无穷小是有益的.当时,常见的一些等价无穷小:15定理3设证此定理又称为等价无穷小的替换准则.为无穷小,且又存在,则16例4求极限解当时,所以

4、17例5求解当时,所以18例6求解令注意到由所以等价无穷小替换19上例表明:当时,特殊的,当时,有20值得注意的是:等价无穷小替换只能用于乘除法,而但如用等价无穷小替换,则会导出这一错误的结论.不能用于加减法.例如极限:×21三、无穷大若在的某个变化过程中,变量的绝对值无限增大,则称是该变化过程中的无穷大,记为而是时的无穷大,即例如是时的无穷大,即22若大于零而绝对值无限增大,则称为正无穷大;若小于零而绝对值无限增大,则称为负无穷大,分别记为和例如而函数图形见下图:232425无穷小与无穷大的关系在自变量同一过程中,⑵若是无穷小,且则是无穷大.⑴若是无穷大,则是无穷小;26例7

5、求极限解考虑极限:容易得到该极限为由此得27联系前面关于有理函数在无穷远点的极限关系,我们有28与水平渐近线求法相似的有:若或则直线是函数的图形的铅直渐近线.铅直渐近线29小结无穷小的概念与性质无穷小的概念无穷小的性质有限个无穷小之和（积）是无穷小有界函数与无穷小之积是无穷小无穷小的比较高阶（同阶无穷小），等价无穷小无穷大无穷大的概念（正、负无穷大）无穷大与无穷小的关系30课后练习P37习题1-51，2，4思考题求极限31