无穷小与无穷大课件.ppt

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1、第四讲无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较定义如果函数f(x)在某过程中的极限为零，那么称函数f(x)为该过程中的无穷小.例是中的无穷小.是中的无穷小.是中的无穷小.是中的无穷小.注1.必须指明自变量的变化过程2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆（0除外）无穷小：（函数的绝对值）无限变小定理：函

2、数f(x)在某过程中以A为极限的充要条件是：即：为同一过程中的无穷小无穷小与函数极限的关系函数f(x)可以表示为A与该过程中的无穷小之和.一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较性质1同一过程中的有限个无穷小之和仍为该过程中的无穷小.性质2某过程中的有界函数与该过程中的无穷小之积仍为该过程中的无穷小.推论1常量与某过程中的无穷小之积仍为该过程中的无穷小.推论2同一过程中的有限个无穷小之积仍为该过程中的无穷小.推论3某过程中的无

3、穷小的正整数次乘幂仍为该过程中的无穷小.一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较同一过程中的两个无穷小之和、差、积仍为该过程中的无穷小.同一过程中的两个无穷小之商是否仍为该过程中的无穷小？例都是中的无穷小,问题同一过程中的两个无穷小之和、差、积仍为该过程中的无穷小.同一过程中的两个无穷小之商是否仍为该过程中的无穷小？例都是中的无穷小.问题同一过程中的两个无穷小之和、差、积仍为该过程中的无穷小.同一过程中的两个无穷小之商是否仍为

4、该过程中的无穷小？例都是中的无穷小.问题定义设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0如果那么就说β是比α高阶的无穷小，α是比β低阶的无穷小，记作如果那么就说β与α是同阶无穷小；如果那么就说β与α是等价无穷小，记作如果那么就说β是α的k阶无穷小；（1）（2）（3）无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较定义1如果

5、函数f(x)在某过程中绝对值无限增大，则称函数f(x)为该过程中的无穷大.定义2注1.必须指明自变量的变化过程2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆无穷大：（函数的绝对值）无限变大函数f(x)为某过程中的无穷大是指：存在“一个时刻”，使得在该“时刻以后”恒有：记作：３.不要把无穷大和极限相混淆定义３例1记作：把定义２中的换成就可得到函数f(x)为某过程中的正无穷大（负无穷大）的定义例2例3二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较

6、性质1同一过程中的有界函数与无穷大之和仍为该过程中的无穷大.性质2某过程中的有限个无穷大的乘积仍为该过程中的无穷大.二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系定理那么为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，且那么为无穷大.