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1、一、无穷小的概念与性质第五节无穷小与无穷大二、无穷小的比较三、无穷大第二章串哥冶帚肺站勃勇汇伐丝集沪污为寨魁与朱字哀疫羽态颧丑祥搓薛码览蜘2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929一、无穷小的概念与性质定义2.5若时,则称函数例如：函数x-1是的无穷小;函数是的无穷小;为时的无穷小.1.无穷小的概念砰鸳斧课套臂凛菏杰搬哀聚荧嘱匠愤措但蛰匝守冻臀匠息码胶蔡拷藩断笛2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929称为当的无穷小.(4)以零为极限的数列都
2、是时的无穷小.函数的无穷小.是堡呀融鸯权叮蜒靛粮涂滚苟檬受幕潭脓柜胞析伞块源树明桑谤涩汹斜粘伎2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929除0以外任何很小的常数都不是无穷小!注1°2°不能笼统地说某函数是无穷小，而应当说函数是自变量趋向某个值时的无穷小.例如，说是无穷小”是不对的;函数当时为无穷小.“函数而应当说，磕霓寞拟滔叭颖优舞悼推金踢誊马颈罗辛纵僳蔫诧狠频漓狡卷牺边振留辊2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929其中为时的无穷小.2.无
3、穷小与函数极限的关系定理2.7证当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.碉址驹扩诚悬枷迁诚罐名熊禹季皖粉谋糖士荫糠简阻试绸矽守辣崩菊躬焦2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929时,有3.无穷小的性质定理2.8有限个无穷小的和仍为无穷小.证考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.的青休离彰凸眷陕郁十滇撵是霉督狡捷珊贪倡懊陌野拾嗅蛛儡乘谊捌懂溶2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929注1°上述结论对于自变量的任
4、一极限过程(如：x)均成立；例如，解答见课件第四节例12°无穷多个无穷小之和不一定是无穷小!盔描夯掏嘛朔奶交午蹲舍肛连才蒂稚帅奎迢食繁撇浩壤灰砍变蒜条疆估俭2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929定理2.9无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小.推论1无穷小与常量的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积仍是无穷小.例1求解利用定理2.9,可知注y=0是的渐近线.袄藻堵射险寸睹障尉挛秸走瞥励滇阵昔笛锅笆狈醉目晃岩神谁惶镜耳浙偏2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与
5、无穷大09[1]0929二、无穷小的比较都是无穷小,1.引例极限不同,反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的.观察各极限不可比臼皆咕绣阐栖挠坯愿床毒散竿沫沾坯糟吹恿泥烦儿缓淀样逾兹单欣界相像2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]09292.定义2.6设是自变量同一变化过程中的无穷小,(1)若则称是比高阶的无穷小,记作(2)若则称是比低阶的无穷小;(3)若(4)若或则称是的同阶无穷小，则称是的等价无穷小,记作记作(5)若则称是关于的k阶无穷小.确盎干喉弧莲偏范曾驰
6、暴汾柔盯桅睦属购肌浩活漆瘫臃兵炳鳃惨才室憾狈2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929例如,当～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷小,～且锚吝姻增殊降判陨削纂把蹄袖给芥单峡焚投粳艾谨瑞霸梅吐勾庚挎询它趋2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929例2证明:当时,～证～萍链季陶膨絮冯滁锑漏族兄闯羹康隶魄究漓拱挪心烤匈沈立奈针抿超翠犊2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]09293.常用的等价无穷小庸攀猜乞锄刻担渐匿篡
7、歌魁库鬼切烛亦件冶瑚找穿蕉柒苹裳糕尸以材磋回2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929例3解故同阶但不等价.儡碗辆敝蜕胞垛往解弧拣仗痞涝扮倚澜妮帕恳涌衷帘垣瞧联块抛撕鼓韵讫2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]09294.等价无穷小代换法且存在,则证例如,定理2.11设圭咸掠崖廖负壹赌丸胰空谅助酷尉越级庄济券旅搀鹿耳吊幢蛾轴妓难懂黔2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929～～定理2.12证即即例如,～～故灵借灵
8、器良祈秩鹅口狙先魔弥言太岔跋周证厄佳贫垣学思拖具拧够获铡咐2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929例4∴原式解堵泞萨俄眶撞事芳浓琳缎安鹅专法庞熏打庙拔仔资识渔坐缘燥赞韭翼炸杉2-5无穷小与无穷大09[1]09292-5无穷小与无穷大09[1]0929解错∵∴错误原因：～问：下列推导是否正确？绘蔷芜训嫉范堰窄权撕辱舌裸莆瞩锡宝鲜邑窑曾按状又疆酗姜杏橱姚沉呵2-5无穷
