《概率论与数理统计》概率论ppt课件.ppt

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1、§2.3连续型随机变量及其分布函数连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.2.3.1定义与基本概念则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度.连续型随机变量及其概率密度的定义有,使得对任意实数,对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非负可积函数f(x),连续型随机变量的分布函数在上连续概率密度的性质1o2o面积为1这两条性质是判定一个f(x)是否为某随

2、机变量X的概率密度的充要条件利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数x1,x2,(x1

3、注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa当时(1)连续型随机变量取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为请注意:得到(2)对连续型随机变量X,有由P(B)=1,不能推出B=Ω由P(A)=0,不能推出例1设随机变量X具有概率密度1.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，X～U(a,b)2.3.2几种常见的连续型随机变量若随机变量X的概率密度为：记作Oab1F(x)x例2设电阻值R是一个随机变量,均匀分

4、布在900~1100.求R的概率密度及R落在950~1050的概率.公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；2.指数分布若随机变量X具有概率密度为常数,则称X服从参数为的指数分布。性质：（１）f(x)≥0；（２）（３）Ｘ的分布函数为f(x)的图形:Oxf(x)123123q=1/3q=1q=24.如X服从指数分布,则任给x0,△x>0,有P{X>x0+△x

5、X>x0}=P{X>△x}该性质称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛

6、的运用.例3：某元件寿命（小时）服从的指数分布，某报警系统内装有４个這樣的元件，已知，他们独立工作，且若要系统正常工作，至少需要不少于３个元件正常工作，求该系统能正常工作1000小时的概率。3.正态分布(NormalDistribution)若连续型随机变量X的概率密度为记作其中和(>0)都是常数,则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布.函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值；这表明对于同样长度的区间,当区间离μ越远,X落在这个区间上的概率越小.曲线关于轴对称；(6)在x=ms处曲线有拐点.曲线以Ox轴为渐近线.f(x)以x轴为渐近线当x→∞时，f(

7、x)→0.决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的概率密度曲线图形特点设X~,X的分布函数是正态分布的分布函数正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布。一种最重要的正态分布标准正态分布的正态分布称为标准正态分布，记作　　　　其密度函数和分布函数常用和表示：性质:（３）　　　　　　　，因此，　　为偶函数，图形关于ｙ轴对称,x轴为曲线的水平渐近线；当x＝0时，有最大值当　　　　时，曲线上对应拐点；标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.引理通常，若某个数量指标X是很多随

8、机因素的和，而每个因素所起的作用均匀微小，则X为服从正态分布的随机变量。如：大量生产某产品，当设备、技术、原料、操作等可控制生产条件都相对稳定且不存在产生系统误差的明显因素，则产品的质量指标近似服从正态分布；注意：正态分布也是许多概率分布的极限分布。如X~B(n,p)，n充分大，p不是很小时，X近似服从N(np,npq),则书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表当x<0时,表中给的是x>0时,Φ(x)的值.若若X～N(0,1),~N(0,1)则例4设X~N(0,1),求P{1

9、),求P{2