概率论与数理统计ppt课件.ppt

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1、概率论与数理统计第十七讲主讲教师:程维虎教授北京工业大学应用数理学院第七章:参数估计数理统计的任务:●总体分布类型的判断;●总体分布中未知参数的推断(参数估计与假设检验)。参数估计问题的一般提法设总体X的分布函数为F(x,θ),其中θ为未知参数或参数向量,现从该总体中抽样,得到样本X1,X2,…,Xn.依样本对参数θ做出估计,或估计参数θ的某个已知函数g(θ)。这类问题称为参数估计。参数估计包括:点估计和区间估计。称该计算值为µ的一个点估计。为估计参数µ,需要构造适当的统计量T(X1,X2,…,Xn),一旦当有了样本,就将样本值代入到该统

2、计量中,算出一个值作为µ的估计,寻求估计量的方法1.矩估计法2.极大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯方法…我们仅介绍前面的两种参数估计法。其思想是:用同阶、同类的样本矩来估计总体矩。矩估计是基于“替换”思想建立起来的一种参数估计方法。最早由英国统计学家K.皮尔逊提出。§7.1矩估计矩估计就是用相应的样本矩去估计总体矩。设总体X的分布函数中含k个未知参数步骤一:记总体X的m阶原点矩E(Xm)为am,m=1,2,…,k.am(1,2,…,k),m=1,2,…,k.一般地,am(m=1,2,…,K)是总体分布中参数或参数向量(1,2,…

3、,k)的函数。故,am(m=1,2,…,k)应记成:步骤二:算出样本的m阶原点矩步骤三:令得到关于1,2,…,k的方程组(L≥k)。一般要求方程组(1)中有k个独立方程。步骤四:解方程组(1),并记其解为这种参数估计法称为参数的矩估计法,简称矩法。解:先求总体的期望例1:设总体X的概率密度为由矩法,令样本矩总体矩解得为α的矩估计。注意:要在参数上边加上“^”,表示参数的估计。它是统计量。解:先求总体的均值和2阶原点矩。例2:设X1,X2,…Xn是取自总体X的简单样本,X有概率密度函数令y=(x-μ)/θ令y=(x-μ)/θ用样本矩

4、估计总体矩得列出方程组:例3:设总体X的均值为,方差为2,求和2的矩估计。解:由故,均值,方差2的矩估计为求解,得如:正态总体N(,2)中和2的矩估计为又如:若总体X∼U(a,b),求a,b的矩估计。解:列出方程组因解上述方程组,得到a,b的矩估计:矩估计的优点是:简单易行,不需要事先知道总体是什么分布。缺点是:当总体的分布类型已知时,未充分利用分布所提供的信息;此外,一般情形下,矩估计不具有唯一性。§7.2极大似然估计极大似然估计法是在总体的分布类型已知前提下,使用的一种参数估计法。该方法首先由德国数学家高斯于182

5、1年提出,其后英国统计学家费歇于1922年发现了这一方法,研究了方法的一些性质,并给出了求参数极大似然估计一般方法——极大似然估计原理。I.极大似然估计原理设总体X的分布(连续型时为概率密度,离散型时为概率分布)为f(x,θ),X1,X2,…,Xn是抽自总体X的简单样本。于是,样本的联合概率函数(连续型时为联合概率密度,离散型时为联合概率分布)为被看作固定,但未知的参数。视为变量将上式简记为L(θ),即称L(θ)为θ的似然函数。视为变量视为固定值假定现在我们观测到一组样本X1,X2,…,Xn,要去估计未知参数θ。称为θ的极大似然估计(ML

6、E)。一种直观的想法是:哪个参数(多个参数时是哪组参数)使得现在的出现的可能性(概率)最大,哪个参数(或哪组参数)就作为参数的估计。这就是极大似然估计原理。如果θ可能变化空间,称为参数空间。(4).在最大值点的表达式中,代入样本值,就得参数θ的极大似然估计。II.求极大似然估计(MLE)的一般步骤.由总体分布导出样本的联合概率函数(连续型时为联合概率密度,离散型时为联合概率分布);(2).把样本的联合概率函数中的自变量看成已知常数,参数θ看成自变量,得到似然函数L(θ);(3).求似然函数L(θ)的最大值点(常常转化为求lnL(θ)的最大

7、值点),即θ的MLE;两点说明:●求似然函数L(θ)的最大值点,可应用微积分中的技巧。由于ln(x)是x的增函数,所以lnL(θ)与L(θ)在θ的同一点处达到各自的最大值。假定θ是一实数,lnL(θ)是θ的一个可微函数。通过求解似然方程可以得到θ的MLE。●用上述方法求参数的极大似然估计有时行不通,这时要用极大似然原理来求。若θ是向量,上述似然方程需用似然方程组代替。III.下面举例说明如何求参数的MLE例1:设X1,X2,…,Xn是取自总体X~B(1,p)的一个样本,求参数p的极大似然估计。解:似然函数为对数似然函数为:对p求导,并令其

8、等于零,得上式等价于解上述方程,得换成换成例2:求正态总体N(,2)参数和2的极大似然估计(注:我们把2看作一个参数)。解:似然函数为对数似然函数为似然方程组为由第一个方程,得到代入

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