数学奥林匹克初中训练题(1-7).doc

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1、数学奥林匹克初中训练题1这是我辛辛苦苦做出来的！！！第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.设，且x、y、z为有理数.则xyz=().(A)3／4(B)5／6(C)7／12(D)13／182.设二次函数f(x)=ax2+ax+1的图像开口向下，且满足f(f(1))=f(3).则2a的值为().(A)-3(B)-5(C)-7(D)-93.方程

2、xy

3、+

4、x+y

5、=1的整数解的组数为().(A)2(B)4(C)6(D)84.a、b是方程x2+(m-5)x+7=0的两个根.则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=().(A)365(B)245(C)210(D)175

6、5.如图，Rt△ABC的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB、AC为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为()(A)(B)(C)(D)6.从1，2，…，13中取出k个不同的数，使这k个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k的最大值为().(A)5(B)6(C)7(D)8二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x2+(a+3)x+2a+3=0有一正根x1和一负根x2，且

7、x1

8、<

9、x2

10、，则a=.2.当x=时，代数式x4+5x3-3x2-8x+9的值是.3.给定两组数，A组为:1，2，…，100;B组为:12，22，…，1002.对于A组中

11、的数x，若有B组中的数y，使x+y也是B组中的数，则称x为“关联数”.那么，A组中这样的关联数有个.4.已知△ABC的三边长分别为AB=2，BC=，AC=，其中a>7.则△ABC的面积为.第二试一、(20分)解方程:(12x+5)2(6x-1)(x+1)=.二、(25分)如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，自对角线AC、BD的交点N作NM⊥AB于点M，线段AC、MD交于点E，BD、MC交于点F，P是线段EF上的任意一点.证明:点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，

12、将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数.说明:若凸多边形的周界上有n个点，就将其看成n边形,例如,图中的多边形ABCDE要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案第一试1.A.两边平方得3+++=x+y+z+2+2+2.根据有理数x、y、z的对称性,可考虑方程组x+y+z=3,2=,2=,2=.解得x=1,y=1／2,z=3／2.此时,xyz=3

13、/4.2.B.注意到f(1)=2a+1,f(3)=12a+1,f(f(1))=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(1))=f(3),得(2a+1)2+(2a+1)=12.所以,2a+1=3或-4.因a<0,故2a=-5.3.C.因x、y为整数,则

14、xy

15、、

16、x+y

17、为非负整数.于是,

18、xy

19、、

20、x+y

21、中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解.4.D.由ab=7,a2+ma+7=5a,b2+mb+7=5b,所以,(a2+ma+7)(b2+mb+7)=25ab=175.5.C.记两圆公共部分的面积为S.如图,易知S=S扇形EAD+S扇形FAD-S四边形A

22、EDF=5π／6-.6.B.将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k的最大值为6.二、1.-2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a+3)2>4(2a+3).解得a>3或a<-1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即-(a+3)<0,2a+3<0.从而,a>-3,a<-3/2,即-3

23、而x=a2-b2=(a+b)(a-b)≤100,因a+b、a-b同奇偶,故a+b≥(a-b)+2.(1)若a-b=1,则a+b为奇数,且3≤a+b≤99.于是,a+b可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x也可取这49个值.(2)若a-b=2,则a+b为偶数,且4≤a+b≤50.于是,a+b可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x可取8,12,16,…,100这24个值.其他情况下所得的x值均属于以上情形.若a-b=奇数,则a+b=奇数.而x=a2-b2≥a+b≥3,归入(1).若a-b=偶数,则a+b=偶数.而x=(a-b)(a+b)为4

24、的倍数,且