第1章 随机过程的基本概念习题答案.doc

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1、第一章随机过程的基本概念1．设随机过程，其中是正常数，而是标准正态变量。试求（t）的一维概率分布解：∵当即即时若即时当时此时若时同理有综上当：即时2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为。试确定的一维分布函数和，以及二维分布函数解：（1）先求显然随机变量的可能取值只有0，1两种可能，于是所以再求F（x,1）显然所以(2)计算于是3．设随机过程共有三条样本曲线且试求随机过程数学期望EX(t)和相关函数Rx(t1,t2)。解：数学期望相关函数4．设随机过程其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一

2、维分布密度。解：对于任意t>0因为∴当x>0时∴当时∴随机过程的一维分布密度为5．在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望和自相关函数解：∵随机变量X的概率密度函数为因此：6．设随机过程在每一时刻t的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的t有其中0

3、序列求（1）Y1的概率分布列；（2）Y2的概率分布列；（3）Yn的数字期望；（4）Yn的相关函数RY（n,m）。解：（1）∵Y1=X1故概率分布则为（2）∵可能的取值为0或2，-2=（3）的数字期望为（4）自样关函数当m≥n时∵（相互独立）∵∴∴当m≥n时8．设随机过程的数字期望为协方差为，而是一个函数。试求随机过程的数字期望和协方差函数。解：随机过程的数字期望为的协方差函数为而∴思考：有没有更为简单的方法呢？9．给定随机过程，对于任意一个数，定义另一个随机过程试证：的数字期望和相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。证明：设的一维和二维概率密

4、度分加别为和则若考虑到对任意的是离散型随机变量，则有：10．给定一个随机过程和常数a，试用的相关函数表示随机过程的相关函数。解：根据定义11．设随机过程，其中是正常数，A和Ф是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上的均匀分布，而服从在区间[0，2π]上的均匀分布，试求的数字期望和相关函数。解：12．设随机过程，其中在区间中均匀分布的随机变量。试求的数字期望和协方差函数。解：∵是区间上均匀分布的随机变量，于是的概率密度为因此的数字期望为：当时求其协方差函数：当且时当且时当但即时类上当时当时当时13．设随机过程（随机变量），向，，试求的数字期望

5、和协方差。解：14．设随机过程，向随机矢量的协方差阵为，试求的协方程函数。解：而15．设随机过程其中X，Y,只是相互独立的随机变量，各自的数学期望的0，方差为1，试求的协方差函数。解：16．设随机过程的导数存在，试证证明：证毕17．设是相互独立分别服从正态分布的随机变量，作随机过程。试求下则随机变量的数学期望。解：18．试证明均方导数的下列性质。（1）证明：（2）若a,b为常数，则证明：（3）若为可微函数，则证明：定义范数：，易证又19．试证明均方极限的下列性质。（1）证明：（2）若是常数，则证明：=20．设是均方可导的随机过程，试证这里是区间上的

6、连续函数证明：只要证由于即[证毕]