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《第04讲_随机过程的基本概念3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、随机过程的联合分布和互相关函数联合分布二维联合分布函数：''F(,,,){(),()}xtyt=≤≤PXtxYtyXY11111111二维联合概率密度：2''∂FxtytXY()(1111,,,)f(,,,)xtyt=XY1111∂∂xy1155随机过程的联合分布和互相关函数联合分布NM+维联合分布函数：''F(,,,,,,,,,,)xx????ttyyttXY1111NNMM''=≤P{(),,()Xtx??Xt≤≤xYt,(),,()yYt≤y}11NN11MMN+M维联合概率密度：''f(,,,,,,,,,,)xx
2、????ttyyttXY1111NNMMNM+''∂F(,,,,,,,,,,)xx????ttyyttXY1111NNMM=∂∂∂∂xxyy??11NM561联合分布函数和联合概率密度随机过程的独立性如果fXY(x1,...,xN,t1,...,tN,y1,...,yM,t'1,...,t'M)=f(x,...,x,t,...,t)f(y,...,y,t',...,t')X1N1NY1M1M则称X()t和Yt()是相互独立的严格联合平稳如果X()t和Yt()的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称X()t和Yt()是
3、严格联合平稳的，也称平稳相依。它们的任意N+M维联合概率密度与时间起点无关f(x,...,x,t,...,t,y,...,y,t',...,t')XY1N1N1M1M=f(x,...,x,t+c,...,t+c,y,...,y,t'+c,...,t'+c)XY1N1N1M1Mc为任意实数57互相关函数及其性质互相关函数+∞+∞R()[()()(tt,)[()()==EXtYt]xyf(xtytdxdy,,,))XYX1212∫∫−∞−∞Y12互协方差函数K(t,t)=E{[X(t)−m(t)][Y(t)−m(t)]}XY
4、121X12Y2=R(t,t)−m(t)m(t)XY12X1Y2若，RXY(t1,t2)=0则X()t与Yt()相互正交若，K(t,t)=0则X()t与Yt()不相关XY12582互相关函数及其性质广义联合平稳如果m(t)=mXXm(t)=mYYR(t,t)=R(τ),τ=t−tXY12XY12则称X()t和Yt()是广义联合平稳的。59互相关函数及其性质例：设两个连续时间的随机相位信号Xt()sin(=ω+Φt)，0Yt()cos(=ω+Φ0t)。其中，ω0为常数，Φ在(,)−ππ上均匀分布，判断X()t与Yt()是否
5、联合平稳。1π解：EXt[()]=E[sin(ω+Φ=00t)]∫sin(ω+ϕϕ=t)d02π−π1πEYt[()]=ωE[cos(00t+Φ)]=∫cos(ωt+ϕ)dϕ=02π−πRttE(,)=ω[sin(t+Φω)cos(t+Φ)]XY12010211=ωE[sin(t+ωt+2Φ)sin+ω(tt−)]=sinω(tt−)010201201222可见X()t与Yt()是联合平稳的603互相关函数及其性质联合平稳随机过程互相关函数性质（1）R(−τ)=R(τ)XYYXK(−τ)=K(τ)XYYX证明：R()[(
6、)()−=τEXt−τYt]XY=EYtXt[()(−τ)]=R()τYXKE()−=τ{[(Xt−−ττ)m(t−)][()Yt−m()]}tXYXY=−EYtmtXt{[()()][(−τ)−mt(−τ)]}YX=K()τYX61互相关函数及其性质联合平稳随机过程互相关函数性质（2）2（2）
7、(RRτ)
8、(≤0)(R0)XYXY222
9、(Kτσ)
10、≤σXYXY22证明：
11、(REττ)
12、[()=+XtY(t)]XY22≤+EXt[(τ)][EYt()]许瓦兹不等式=RR(0)(0)XY22
13、(KEττ)
14、{=+[X()
15、()t−mt+−τ][Y(t)(mt)]}XYXY22≤+EXt[(ττ)−mt(+)]EYtmt[()−()]XY许瓦兹不等式=σ22σXY624互相关函数及其性质联合平稳随机过程互相关函数性质（3）2(RRRτ)(≤+0)(0)XYXY2证明：有EXt{[(+τ)−≥Yt()]}022即EXt[(+ττ)2(−++≥Xt)()YtYt()]022EXt[(+ττ)]2[(−++≥EXt)()]YtEYt[()]02因为EXt[()+=τ](R0)XEXt[()()]+τYt=R()τXY2EYt[()](=R0)Y代
16、入，得RRRXX(0)2−YY()τ+≥(0)0所以RRR(0)+(0)2≥()τXYXY63互相关函数及其性质联合平稳随机过程互相关函数性质（4）若Xt()和Yt()是联合平稳的，则Zt()=+XtYt()+()也是平稳的，且R(τ)=R(τ)+R(τ)+R(τ)+R(τ)ZXYXYYX如果X()t和Yt()不相关
