第1章 随机过程的基本概念

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1、第一章随机过程的基本概念1．设随机过程，其中是正常数，而是标准正态变量。试求（t）的一维概率分布解：∵当即即时若即时当时此时若时同理有综上当：即时2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为14假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为。试确定的一维分布函数和，以及二维分布函数解：（1）先求显然随机变量的可能取值只有0，1两种可能，于是所以再求F（x,1）显然所以(2)计算14于是3．设随机过程共有三条样本曲线且试求随机过程数学期望EX(t)和相关函数Rx(t1,t2)。解：数学期望相关函数4．设随机过程其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一维分布密度。解：对于任意t>0

2、因为∴当x>0时∴14当时∴随机过程的一维分布密度为5．在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望和自相关函数解：∵随机变量X的概率密度函数为因此：6．设随机过程在每一时刻t的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于任意固定的t有其中0

3、Yn的数字期望；（4）Yn的相关函数RY（n,m）。解：（1）∵Y1=X1故概率分布则为（2）∵可能的取值为0或2，-2=（3）的数字期望为（4）自样关函数当m≥n时14∵（相互独立）∵∴∴当m≥n时8．设随机过程的数字期望为协方差为，而是一个函数。试求随机过程的数字期望和协方差函数。解：随机过程的数字期望为的协方差函数为而∴14思考：有没有更为简单的方法呢？9．给定随机过程，对于任意一个数，定义另一个随机过程试证：的数字期望和相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。证明：设的一维和二维概率密度分加别为和则若考虑到对任意的是离散型随机变量，则有：10．给定一个随机过程和常数a，试用

4、的相关函数表示随机过程的相关函数。解：根据定义1411．设随机过程，其中是正常数，A和Ф是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上的均匀分布，而服从在区间[0，2π]上的均匀分布，试求的数字期望和相关函数。解：12．设随机过程，其中在区间中均匀分布的随机变量。试求的数字期望和协方差函数。解：∵是区间上均匀分布的随机变量，于是的概率密度为因此的数字期望为：当时14求其协方差函数：当且时当且时14当但即时类上当时当时当时13．设随机过程（随机变量），向，，试求的数字期望和协方差。解：14．设随机过程，向随机矢量的协方差阵为，试求的协方程函数。解：而1415．设随机过程其中X，Y，Z只

5、是相互独立的随机变量，各自的数学期望的0，方差为1，试求的协方差函数。解：16．设随机过程的均方导数存在，试证证明：证毕17．设是相互独立分别服从正态分布的随机变量，作随机过程。试求下则随机变量的数学期望。14解：18．试证明均方导数的下列性质。（1）证明：（2）若a,b为常数，则证明：（3）若为可微函数，则证明：定义范数：，易证又1419．试证明均方极限的下列性质。（1）证明：（2）若是常数，则证明：=20．设是均方可导的随机过程，试证这里是区间上的连续函数证明：只要证由于14即[证毕]14