随机过程的基本概念

《随机过程的基本概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、随机过程的基本概念随机过程的定义随机过程的概率分布随机过程的统计特性随机序列及其统计特性复随机过程几种重要的随机过程1随机过程的定义随机过程——研究随“时间”变化的“动态”的随机现象随机过程几个例子：生物群体的生长问题：以Xt表示在t时刻群体的个数，对每一个t，Xt是一个随机变量。若从t=0开始，每隔24小时对群体个数观测一次，则{Xt,t=0,1,…}是随机过程。某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼叫次数是与t有关的随机变量X(t)，对于固定的t，X(t)是一个取非负整数的随机变量。则{X(t),t[0,)}是随机过程。随机过程的定义[定义]设（S,ℱ,P）是概率空间，T是给定

2、的参数集，若对每个tT，有一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族{X(t,e),tT}是（S,ℱ,P）上的随机过程，简记为随机过程{X(t),tT}。T称为参数集，通常表示时间。X(t,e)是定义在TS上的二元函数。状态与样本函数状态——对于固定时刻tT，X(t,e)是（S,ℱ,P）上的随机变量，此时把X(t)所取的值称为随机过程X(t)在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。样本函数——对于固定e，X(t,e)是定义在T上的普通函数，称之为随机过程{X(t,e),tT}的一个样本函数或轨道。样本函数的全体称为样本函数空间

3、。随机过程的四种类型IT离散连续离散连续离散型随机序列连续型随机序列连续型随机过程离散型随机过程2随机过程的概率分布设{X(t),tT}是随机过程，对任意t1T及实数x1R，一维分布函数为（连续型）一维概率密度函数为（离散型）一维分布律为其中：（1）一维概率分布（2）二维概率分布设{X(t),tT}是随机过程，对任意t1,t2T及实数x1,x2R，二维分布函数为（连续型）二维概率密度函数为（3）n维概率分布设{X(t),tT}是随机过程，对任意t1,t2,…,tnT，及实数x1,x2…,xnR，n维分布函数为全体有限维分布函数的集合称为{X(t),tT}的有限维分

4、布函数族。n维概率密度函数若对的n阶偏导数存在时，则称为随机过程X(t)的n维概率密度函数。相应地，全体有限维概率密度函数的集合称为随机过程X(t)的有限维概率密度函数族。3随机过程的统计特性设XT={X(t),tT}是随机过程，如果对任意tT，E{X(t)}存在，则随机过程XT的数字特征定义为均值函数(自)协方差函数方差函数(自)相关函数均方值函数几种关系均值函数mX(t)和相关函数RX(s,t)是最基本的两个数字特征。“相关理论”——在随机过程理论中，仅研究mX(t)和RX(s,t)有关的理论。随机过程的特征函数[定义]设随机过程X(t)的概率密度函数为f(x,t)，则称为X(t

5、)的特征函数。n维特征函数：随机过程的特征函数与自相关函数的关系：例1已知随机相位正弦波X(t)=acos(t+)，其中a>0，为常数，为在（0,2）内均匀分布的随机变量。求随机过程{X(t),t(0,)}的均值函数mX(t)和相关函数RX(s,t)。互协方差、互相关函数设有两个随机过程{X(t),tT}和{Y(t),tT}，互协方差函数：互相关函数：当KXY(s,t)=0时，称{X(t),tT}与{Y(t),tT}互不相关当RXY(s,t)=0时，称{X(t),tT}与{Y(t),tT}相互正交关系式：例2设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)

6、=X(t)+Y(t)，则W(t)的均值函数为其相关函数为4随机序列及其统计特性设X(t)是连续随机过程，如果对t以周期Ts进行等间隔抽样，即得随机序列Xn={X(n),nZ}。均值函数方差函数均方值函数(自)协方差函数自相关函数N维随机向量一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量，X=[X1,X2,,XN]T均值向量：协方差矩阵：自相关矩阵：自相关阵、协方差阵的性质对称性半正定性其中A=[a1,a2,,aN]T是N维常向量例求在[0,1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。解：Xi的一维概率密度函数为：Xi的均值：Xi的自相关函数：均值向量自相

7、关阵协方差阵5复随机过程[定义]两个实随机过程：{Xt,tT}和{Yt,tT}，如果对于任意tT，有Zt=Xt+jYt则称{Zt,tT}为复随机过程。复随机过程的数字特征均值函数：协方差函数：方差函数：相关函数：均方值函数：例3设复随机过程，其中A1,A2,…,An是相互独立且服从N(0,)的随机变量，1,2,…,n为常数，求{Zt,t0}的均值函数mZ(t)和相关函数RZ(s,t)。6几种重要的随机过程二阶矩过程平