北大随机过程课件：第 4 章 第 1 讲 基本概念new

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1、随机过程的基本概念¾马尔科夫性质S马尔科夫过程与马尔科夫链的定义S马尔科夫过程与马尔科夫链的联合概率¾二阶矩过程S定义S协方差函数和相关函数的存在性S自相关函数的对称性S自相关函数的非负定性¾严平稳随机过程及其性质¾宽平稳随机过程及其性质S定义S宽平稳正态过程是严平稳的S对称性S均值的平方小于平均功率S相关函数的模小于平均功率S相关矩阵的非负性¾功率谱S周期平稳随机过程的谱分析S非周期平稳随机过程的谱分析¾例题1马尔可夫性质马尔可夫性质，或称作无记忆性，或称作无后效性。马尔可夫性质是说过程的历史对将来的影响，都是通过

2、当前状态对将来的影响来表示，即当前的状态概括了过去历史对将来的影响。马尔可夫过程和马尔可夫链，分别表示具有马尔可夫性质的随机过程和随机序列。任意维数的马尔可夫过程和马尔可夫链的概率分布，都可以用它们的初始分布和条件转移概率分布来表示。1.1马尔可夫链定义（使用转移概率、条件概率来表示）：设有一个随机过程{}ξ(n),n=0,1,2?是离散状态的随机过程，且ξ(n)满足条件：P{}ξ(n+1)=j/ξ(0)=i,ξ(1)=i,?ξ(n)=i=P{ξ(n+1)=j/ξ(n)=i}则称这类随01nn机过程是马尔可夫链。马尔

3、可夫链的有限维概率密度(马尔可夫链的性质)Piin{ξξξξ(0)==01,(1),?()=+in,(nj1)=}=+Pn{}ξξξ(1)==jniPnin/()nnn⋅=−{}()/(1)ξ=i−1?Pii{}ξξ(1)==10/(0)⋅=Pi{ξ(0)0}1.2马尔可夫过程定义（使用条件概率密度函数，或条件概率分布函数来表示）：设有一个随机过程{}ξ(t),t∈T，t

4、x,?x)=f(x/x)或tm+1/t1,t2?tmm+112mtm+1/tmm+1mF(x/x,x,?x)=F(x/x)，则称这类随机过程为具有马尔可夫性tm+1/t1,t2?tmm+112mtm+1/tmm+1m质的随机过程或马尔可夫过程。马尔可夫过程的有限维概率密度(马尔可夫过程的性质)f(x,x,?x,x)t1,t2?tm,tm+112mm+1=f(x/x)⋅f(x/x)⋅f(x/x)⋅f(x)tm+1/tmm+1mtm/tm−1mm−1t2/t121t112二阶矩过程2.1定义设有随机过程{ξ(t),t∈T

5、}，若对每个t∈T，ξ(t)的均值和方差都存在，则称ξ(t)为二阶矩过程。2.2定理1二阶矩过程的自协方差函数以及自相关函数总是存在的。证明：根据协方差函数的定义，有：{}{*}covξ(t),ξ(t)=E[ξ(t)−μ(t)]⋅[ξ(t)−μ(t)]121122可以有：2*2cov{}ξ(t),ξ(t)=E{}[ξ(t)−μ(t)]⋅[ξ(t)−μ(t)]1211222{}{}*≤E[ξ(t)−μ(t)]⋅[ξ(t)−μ(t)]112222≤Eξ(t)−μ(t)⋅Eξ(t)−μ(t)1122=Dξ(t)⋅Dξ(t)

6、12<∞第一个不等式成立是：随机变量均值的模小于等于随机变量模的均值。第二个不等式成立是：Schwartz不等式，随机变量乘积取模统计平均的平方，小于等于随机变量取模平方统计平均的乘积。上述两个不等式的证明见附录。2.3定理2设有二阶矩过程{}ξ(t),t∈T，R(t,t)是它的相关函数，则有：ξξ12R(t,t)=R(t,t)(t,t∈T)ξξ21ξξ12122.4定理3二阶矩过程的自相关函数R(t,t)具有非负定性，即对于任意有限个ξξ12t,t,t,?t∈T和任意n个复数λ,λ,?λ，n为任意正整数，有123n

7、12nnn*∑∑Rξξ(tk,tm)λkλm≥0，或写作矩阵形式，k==11mT(λ,λ,?,λ)⋅R(t,t)⋅(λ,λ,?,λ)≥012nξξkm12n证明：nnnn∑∑Rttξξ(,)kmkmλλξ=⋅∑∑Et{}()()kξtmλkmλkm==11km==11nn=⋅Ett∑∑{}ξλξλ()kkmm()km==11nn=E∑ξ(tk)λk∑ξ(tm)λmk=1m=12n=E∑ξ(tk)λk≥0k=1随机过程ξ(t)的自协方差是中心化的随机过程ξ(t)−μ的自相关函数，因此自协方差ξ函数也是非负定的。3严平稳

8、随机过程3.1定义设有随机过程{ξ(t),t∈T}，对任意正整数n、选定时间t≤t≤?≤t,12nt∈T,i=1,2,?n、及任意时间间隔τ和x,x,x,?,x∈R，有n维分布函数i123nF(x,x,?,x;t,t,?,t)=F(x,x,?,x;t+τ,t+τ,?,t+τ)则称该过程为严ξ12n12nξ12n12n平稳随机过程。例2例33.2