高三数学高考集训-7(立体几何).doc

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1、高三数学高考集训营立体几何1．熟悉规律图形：正四面体、正方体、正三棱柱、直三棱柱、正三棱锥等具有的性质你心中有数吗？见到了等腰三角形、双等腰、两全等三角形你该做些什么？等边三角形一条边所在直线延长到原来的2倍长又会形成什么图形？例1（03高考16）．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）答案：①④⑤例2（03高考选择12）．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π答案：A正方体、正四面体都是一个立体几何中非

2、常特殊的图形，故要重点关注。如同平面几何的正方形、正三角形那样，不妨记忆一些有关的常用性质。设正四面体的棱长为a，则其体积为a3,高为外接球的半径为,内接球的半径为。在此基础上进一步熟悉正棱柱（常见的正三棱柱、正四棱柱），直棱柱（尤其直三棱柱），平行六面体，正棱锥（特别是正三棱锥、正四棱锥）的基本性质，此外，底面是矩形或直角梯形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，底面是直角三角形且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥都是较为容易出现的背景图形。另外，平面几何中的一些规律图形（如等腰、等边、直角、射影定理、重心公式乃至三角形各种“心”的性质、各种四边形的性质、直角梯形及圆中常见辅

3、助线等）。为此，我们建议同学在做立体题时，要善于动手画图，尤其是画出某个平面的具体图示，即给它一个“特写”。应该说，这是一个非常好的习惯，更是一个发现其中隐含性质的有效途径。例3．线段A1A、B1B垂直于正方形ABCD所在平面AB=B1B=a，A1A=，求面A1DB1与底面所成角.解：∵AA1//BB1∴ABB1A1共面，延长B1A1与BA交于E点连DE，DE为所求二面角的棱易证DE//CA，CA⊥BD∴BD⊥DE又BB1⊥底面∴B1D⊥DE∴∠B1DB为所求二面角的平面角RtΔB1BD中tan∠B1DB=ABCA1B1C1DEG例4．（03天津）如图，在直棱柱中，

4、底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心．（Ⅰ）求与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；（Ⅱ）求点到平面的距离．解：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，（Ⅱ）连结A1D，有,设A1到平面AED的距离为h，则.故A1到平面AED的距离为.例5．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB=a，BC=（1）求证：SC⊥面BDE；（2）求面BDE与面BDC所成的二面角大小解：（1

5、）SB=a=BC,∴BE⊥SC又SC⊥ED∴SC⊥面EDB(2)由（1）知SC⊥BD又BD⊥SA∴BD⊥面SAC∴BD⊥ACBD⊥ED∴∠EDC为所求二面角的平面角。AC=SC=2a∴∠ACS=30º,∠EDC=60º2．把握典型方法：（1）首先要对相关定理、性质、公式的认识及应用达到非常熟练的程度。其次是系统的归纳立体解题中的常用方法（如空间角的定位、距离的转化途径、体积的计算等），最后要掌握一些补充的定理、公式及书上例题的重要结论。（如∠AOB=∠AOC，则AO在平面BOC上的射影在∠BOC的平分线上；若二面角为θ，则等）这些都是我们复习的基础与重点环节。例6．

6、正方体中，E、F为中点，求A1C1与面A1EDF所成角.解：易证∠C1A1F=∠C1A1E∴G在平面FA1ED上射影必落在∠FA1E的平分线上，而易证FA1ED为菱形∴C1射影H应在A1D上，∠C1A1H即为所求。HRtΔA1C1D中，sin∠C1A1D=例7．△ABC为等腰直角三角形，∠C=900.PA⊥面ABC，AC=a.PA=a.求A—PB—C大小.解：这是一个典型的二面角定位训练题，我们主要来看用不同的方法找到二面角的平面角方法1：过C作CH⊥AB则CH⊥面PAB过C作CF⊥PB连HF则∠CFH即为所求二面角的平面角（也可过H作HF⊥PB连CF）方法2：可证

7、面PAC⊥面PBC∴过A作AE⊥PC则AE⊥面PBC过E作EK⊥PB连AK，则∠AKE即为所求二面角的平面角（也可过A作AK⊥PB，连EK）（2）了解常见辅助线、面的添加方法：（如面面垂直往交线上做垂线、三垂线定理模型、二面角的平面角所在平面与两个半平面都垂直，是重要的辅助平面。）例10．正三棱锥，PA=3，AB=2，求A到面PBC距离.解：取BC中点M，则AM⊥BC，PM⊥BC∴BC⊥面PAM∴面PBC⊥面PAM∴过A作AH⊥PM，AH即为所求距离计算略例11．四棱锥，PC⊥面AC，PC=a，底面是边长为a，∠ABC=600的菱形，E为中点.求E到面PBC距离