2019届高考数学总复习 模块四 立体几何 限时集训（十三）立体几何 文

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1、限时集训（十三）立体几何基础过关1.如图X13-1,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC与BD交于点E,点F是PD的中点.(1)求证:EF∥平面PBC;(2)若PA=2AB=2,求点F到平面PBC的距离.图X13-12.如图X13-2,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,且EC=2FB.(1)证明:平面AEF⊥平面ACC1A1;(2)若AB=EC=2,求三棱锥C-AEF的体积.图X13-23.如图X13-3,在四面体ABCD中,BA=BC,∠BAD=∠BCD=

2、90°.(1)证明:BD⊥AC;(2)若∠ABD=60°,BA=2,四面体ABCD的体积为2,证明:平面BAD⊥平面BCD.图X13-34.如图X13-4,四边形ABCD是菱形,AF⊥BD,AF∥CE,且AF=2CE.(1)求证:平面ACEF⊥平面BDE;(2)已知在线段BF上有一点P,满足AP∥DE,求BPFP的值.图X13-45.如图X13-5,在四棱锥E-ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.(1)求证:平面ACE⊥平面CDE.(2)在线段DE上是否存在一点

3、F,使AF∥平面BCE?若存在,求出EFED的值;若不存在,说明理由.图X13-56.如图X13-6所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱BB1⊥底面ABC,BB1=4,AB⊥BC,且AB=BC=4,点M,N分别为棱AB,BC上的动点,且AM=BN.(1)求证:无论M在何处,总有B1C⊥C1M;(2)求三棱锥B-MNB1体积的最大值.图X13-6能力提升7.如图X13-7①,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,M是AD的中点,将△MAB沿BM向上折起,使平面ABM⊥平面BCDM,如图X13-7②所示.(1)求证:A

4、B⊥CM;(2)求点D到平面ACM的距离.图X13-78.如图X13-8,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是CB,CD的中点,点M在棱CC1上,CM=tCC1(0

5、别是DB,DP的中点,所以EF∥PB,又因为EF⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC.(2)设点F到平面PBC的距离为d,则点D到平面PBC的距离为2d.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.在Rt△PAB中,PB=PA2+AB2=5,则VP-BCD=13×12×1×1×2=13,VD-PCB=13×12×1×5×2d=53d,由VP-BCD=VD-PCB得d=55,即点F到平面PBC的距离为55.2.解:(1)证明:取线段AE的中点G

6、,线段AC的中点M,连接MG,GF,BM,则MG=12EC=BF,又MG∥EC∥BF,∴四边形MBFG是平行四边形,故MB∥FG.∵△ABC为正三角形,M为AC的中点,∴MB⊥AC,又平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面ABC=AC,∴MB⊥平面ACC1A1,而MB∥FG,∴FG⊥平面ACC1A1,又∵FG⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面ACC1A1.(2)由(1)得FG⊥平面AEC,FG=BM=3,所以VCAEF=VFACE=13×S△ACE·FG=13×12×2×2×3=233.3.证明:(1)∵BA

7、=BC,BD=BD,∠BAD=∠BCD=90°,∴Rt△ABD≌Rt△CBD.∴AD=CD.取AC的中点E,连接BE,DE,则BE⊥AC,DE⊥AC,又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BDE,∵BD⊂平面BDE,∴BD⊥AC.(2)在Rt△ABD中,∠ABD=60°,BA=2,则AD=23,∴在Rt△BCD中,BC=2,CD=23,∴△BCD的面积为12·BC·CD=23.设点A到平面BCD的距离为h,则VA-BCD=13·S△BCD·h=13×23·h=2,∴h=3.在△ABD中,过A作AF⊥BD,垂足为F,∵BA=2,∠

8、ABD=60°,∴AF=3=h,∴AF⊥平面BCD,∵AF⊂平面BAD,∴平面BAD⊥平面BCD.4.解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴BD⊥AC,又∵AF⊥BD,AF∩AC=A,∴BD⊥平面ACEF,∵BD⊂平面BDE,∴平面ACEF⊥平面BDE.(2)如图所示,在平面ABF内作BM∥AF,且BM=CE,连