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时间:2020-09-20
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1、第二节分布函数与连续型随机变量§2.3连续一、随机变量的分布函数二、连续型r.v.的概念三、常见的连续型随机变量的分布§2.3连续一、随机变量的分布函数为X的分布函数.设X为r.v.,x是任意实数,称函数定义分布函数的性质F(x)单调不减,即且F(x)右连续,即请填空用分布函数表示事件的概率设r.v.X的分布函数:计算例1解例1F(x)是分段阶梯函数,在X的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度pk.2、离散随机变量及分布函数其中.解例2设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.出发地甲地首次停下时已通过的信
2、号灯盏数,求X的概率分布与p=0.4时的分布函数.令X表示例1•0•1•2•3•4xx]]]•]••kpk012340.60.240.0960.03840.0256代入•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•o定义设X是随机变量,若存在一个非负可积函数f(x),使得其中F(x)是它的分布函数则称X是连续型r.v.,f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.),简记为d.f.二、连续型r.v.的概念§2.3连续xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义p.d.f.f(x)的性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性r.v.的d.f.在f(x)的连续点处,f
3、(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率线段质量长度密度注意:对于连续型r.v.X,P(X=a)=0其中a是随机变量X的一个可能的取值命题连续r.v.取任一常数的概率为零注意概率为0(1)的事件未必不发生(发生)事实上对于连续型r.v.Xbxf(x)axf(x)a例3已知某型号电子管的使用寿命X为连续r.v.,其d.f.为(1)求常数c(3)已知一设备装有3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.(2)计算例1解(1)令c=1000(2)(3)设A表示一个电子管的寿命小于1500小时设在使用的最初1500小时
4、三个电子管中损坏的个数为Y(1)均匀分布三、常见的连续型随机变量的分布若X的d.f.为则称X服从区间(a,b)上的均匀分布或称X服从参数为a,b的均匀分布.记作均匀分布X的分布函数为xf(x)abxF(x)ba即X落在(a,b)内任何长为d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.进行大量数值计算时,若在小数点后第k位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从的r.v.随机变量应用场合例4秒表最小刻度值为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差X的d.f.并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.解X等可能地
5、取得区间所以上的任一值,则(2)指数分布若X的d.f.为则称X服从参数为的指数分布记作X的分布函数为>0为常数指数分布1xF(x)0xf(x)0对于任意的06、“无记忆性”(3)正态分布若X的d.f.为则称X服从参数为,2的正态分布记作X~N(,2)为常数,亦称高斯(Gauss)分布N(-3,1.2)f(x)的性质:图形关于直线x=对称,即在x=时,f(x)取得最大值在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点曲线y=f(x)以x轴为渐近线曲线y=f(x)的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)f(x)的两个参数:—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化,只是位置不同—形状参数固定,对于不同的,f(x)的形状不同.若1<2则比x=2所对应的拐点更靠近直线x=附近值的概率7、更大.x=1所对应的拐点前者取大小几何意义大小与曲线陡峭程度成反比数据意义大小与数据分散程度成正比正态变量的条件若r.v.X①受众多相互独立的随机因素影响②每一因素的影响都是微小的③且这些正、负影响可以叠加则称X为正态r.v.是偶函数,分布函数记为标准正态其值有专门的表供查.——标准正态分布N(0,1)密度函数-xx对一般的正态分布:X~N(,2)其分布函数作变量代换例6设X~N(1,4),求P(0X1.6)解例7已知且P(2
6、“无记忆性”(3)正态分布若X的d.f.为则称X服从参数为,2的正态分布记作X~N(,2)为常数,亦称高斯(Gauss)分布N(-3,1.2)f(x)的性质:图形关于直线x=对称,即在x=时,f(x)取得最大值在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点曲线y=f(x)以x轴为渐近线曲线y=f(x)的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)f(x)的两个参数:—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化,只是位置不同—形状参数固定,对于不同的,f(x)的形状不同.若1<2则比x=2所对应的拐点更靠近直线x=附近值的概率
7、更大.x=1所对应的拐点前者取大小几何意义大小与曲线陡峭程度成反比数据意义大小与数据分散程度成正比正态变量的条件若r.v.X①受众多相互独立的随机因素影响②每一因素的影响都是微小的③且这些正、负影响可以叠加则称X为正态r.v.是偶函数,分布函数记为标准正态其值有专门的表供查.——标准正态分布N(0,1)密度函数-xx对一般的正态分布:X~N(,2)其分布函数作变量代换例6设X~N(1,4),求P(0X1.6)解例7已知且P(2
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