《工科概率统计》PPT课件

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1、分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.第四章随机变量的数字特征由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况

2、——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容第一节随机变量的数学期望一、数学期望的定义二、数学期望的性质引例学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负§4.1加权平均初赛复赛决赛总成绩算术平均甲乙9085532287688805722575胜者甲甲乙甲甲3:3:42:3:52:2:673.770.066.873.270.167.8甲乙乙为这3个数字的加权平均称数学期望的概念源于此设X为离散r.v.其分布为若无穷级数其和为X的数学期望记作E(X),即一、数学期望的定义定义绝对收敛,则称设连续r.v.X的d.f.为若广义积分绝对收敛,

3、则称此积分为X的数学期望记作E(X),即数学期望的本质——加权平均，它是一个数不再是r.v.定义例1X~B(n,p),求E(X).解特例若Y~B(1,p),则E(Y)例1例2X~N(,2),求E(X).解例3设X~参数为p的几何分布,求E(X).解例2常见r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!设离散r.v.X的概率分布为若无穷级数绝

4、对收敛，则设连续r.v.的d.f.为f(x)绝对收敛,则若广义积分r.v.函数Y=g(X)的数学期望设离散r.v.(X,Y)的概率分布为Z=g(X,Y),绝对收敛,则若级数设连续r.v.(X,Y)的联合d.f.为f(x,y)，Z=g(X,Y),绝对收敛,则若广义积分例3设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的数学期望.解例3解(1)设整机寿命为N,五个独立元件,寿命分别为都服从参数为的指数分布，若将它们(1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值.例4例4即N~E(5),(2)设整机寿命为可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的

5、平均寿命长11倍之多.例5设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，求E(max(X,Y)).解D1D2例5其中称为概率积分一般地，若X,Y相互独立，则所以E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).若存在数a使P(Xa)=1,则E(X)a；若存在数b使P(Xb)=1,则E(X)b.二、数学期望的性质常数期望性质设X连续，d.f.为f(x),分布函数为F(x),则故证性质5例6一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到一个车站没有

6、旅客下车就不停车.以X表示停车次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).例6解:引入Xi,i=1,2,…,10例7设二维r.v.(X,Y)的d.f.为求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解例7由数学期望性质X,Y独立据统计65岁的人在10年内正常死亡解例8的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi表示公司从

7、第i个投保者身上所得的收益,i=1~1000.则Xi~0.980.02100100应用1由题设公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：分别化验每个人的血,共需化验n次；分组化验,k个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时k个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳性的概率为p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例9应用2解只

8、须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计,不妨设n是k的倍数，共分成n/k组.设第i组需化验的次数为Xi,则XiP1k+1若则E(X)