2015矩阵论复习题-XAUT.doc

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1、矩阵论复习题1.设是正实数集,对于任意的,定义与的和为对于任意的数,定义与的数乘为问:对于上述定义加法和数乘运算的集合,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的,,定义与的和为对于任意的数,定义与的数乘为问:对于上述定义加法和数乘运算的集合,是否构成线性空间,并说明理由.3．设，试证明是的子空间，并求的一组基和.4.设表示次数不超过的全体多项式构成的线性空间,证明是的子空间,并写出的一组基和计算.5.设是线性变换，求的零空间和像空间的基和维数.6.设是上的线性变换,对于基有1)确定在基下的矩阵;2)求的像空间的基与维数.7.在中求由基(

2、I)到基(II)的过渡矩阵.并求矩阵在基(I)下的坐标.8.在中,对任意的定义内积为若取的一组基,试用正交化方法,求的一组标准正交基.9.在中，内积定义为：1）如果，计算；2）证明：任一线性多项式，都正交于.10.已知，求的最大秩分解。11.求矩阵的奇异值分解.12.设，1）证明：;2)证明：是半正定矩阵或正定矩阵。13.设是上的阶方阵,是上的维列向量,证明：.14.证明阶实方阵可表示为一实对称矩阵与一反实对称矩阵之和.15.已知,,求16.设是的一种矩阵范数,和是阶可逆矩阵,且,证明对任意的，也是的一种矩阵范数.17.已知是上的矩阵范数

3、，是中的某非零列向量，设证明它是上的向量范数，并且与矩阵范数相容。18.设，为正整数，证明：.19.设，且是Hermite矩阵，证明：.20.设函数矩阵,求,和.21.证明1)2)22.已知，判断矩阵级数是否收敛，若收敛求其和.23.已知，判断矩阵级数是否收敛.24.求矩阵的最小多项式.25.已知,求和.26.已知,其中且,证明:.27.已知,1)证明是矩阵;2)求方阵函数.28.设为阶方阵,求证特别地当为反对称矩阵时.29.设,求方阵函数和.30.已知，求.31.求微分方程组的通解及满足初始条件的特解.32.求微分方程组满足初始条件的特

4、解.33.已知(1),(2),求的广义逆矩阵.34.设是的最大秩分解,证明:.35.证明:线性方程组(其中)有解的充分必要条件是.