2015矩阵论复习题-xaut

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1、矩阵论复习题1.设V=是正实数集,对于任意的x，yeV，定义X与y的和为x㊉y=x•y对于任意的数Ae/?，定义々与*的数乘为k®x=xk问：对于上述定义加法和数乘运算的集合V，是否构成线性空间，并说明理由.2.对任意的/?2,x=(x,,x2),y=0,，｝^)定义*与3；的和为=(々+)、，易+)?2十七凡)对丁•任意的数々e/?，定义々与;c的数乘为k®x=(kx｝,kx2+~—%,2)2问:对于上述定义加法和数乘运算的集合/?2,是否构成线性空间，并说明理由.3.+x2+2x3=0w川，试证明S是/?3的子空间

2、，并求S的一组基和dim5*.4.设G(/?)表示次数不超过n的全体多项式构成的线性空间，5=｛/(x)I/(0)=0,/(x)ePnm证明S是Ptl(R)的+空间，并写出S的一组基和计算dims.5.设是线性变换，T(x,,x2,%3)=(x,+2%2—x3,又2+x3,七+%2—2x3)求r的零空间N(r)和像空间/?(?)的基和维数.6.设r是/?3上的线性变换，对于基｛/，./,々｝有7(/+j+k)=j-kT(j+k)=iT(k)=2i+3j+5ki)确定r在基U，7,/：｝下的矩阵;2)求r的像空间的基与维

3、数.f21AAniA(_21A(1qA1.在/?2X2中求由基⑴4=4=到l0lj•122j3U2j4^12)(i2、(1—1、(—(——1A基(II)B}=B2=B3=B4=的过渡矩阵.1UJ1J、11J、U1J(20、并求矩阵/(=在基(I)卜的坐标.L-12)2.在P2(/?)中，对任意的/(x),g(%)e尽⑻定义内积为(/(x),^(x))=(fx^(x)dxJO若取P2(/?)的一组基{l，x，x2}:试用Gram-Schmidt正交北方法，求/^/?)的一组标准正交基.3.在/中，内积定义为：

4、gV/,geP2[x].1)如果/(x)=x2-%+去，计算

5、

6、/

7、

8、;62)证明：任一线性多项式g(x)=6/+/zx，都正交于./*(%)=x2-x+l求A的最大秩分解。rl22r4.已知A=1201、2422;

9、

10、Xx

11、

12、2<

13、

14、/l

15、

16、F.

17、

18、x

19、

20、2.14.证明《阶实方阵A可表示为一实对称矩阵与一反实对称矩阵之和.

21、15.，216>7i8,X=44378已知焱求lIxlUxIUIAxllpllArlLIIAIIJIAIL16.设

22、

23、叹是(?■的一种矩阵范数，B和Z)是/7阶可逆矩阵，目.

24、

25、

26、

27、，1,IIP"1IL<1,证明对任意的AeCwx",IIAll^llbad

28、

29、rt也是C/lXM的~种矩阵范数.17.已知

30、

31、*

32、

33、。是(?'1'卜.的矩阵范数，凡是C"中的某非零列向量，设11又

34、

35、=

36、

37、;%"

38、

39、。证明它是Cw±的向量范数，并且与矩阵范数

40、

41、*

42、

43、。和容。18.设为正整数，证明：p(Ak)=pk(A).19.设AeC劇，

44、且是Hermite矩陈，证明：

45、

46、<=/?(A).20.设函数矩阵A’cosZsinZ、、一sinfcoszy21•证明(Z)22.已知A收敛求其和.23.已知/I24.求矩阵A25.已知A26.已知A27.已知A0.20.50.5-0.2，判断組阵级数A+A2+A3HHAk+…是杏收敛，若11-r1110-12yoo，判断矩阵级数是杏收敛210-4-2021010000310003100030a-a03i-i3人=0的最小多项式,求sinA和sin(/4r)zcos6/sin“、y-smacos6fy其屮ae/?且6

47、/关0，证明：

48、.32.求微分方程组dx}~dtdx2~dtdxy~dt-3x,+x2-x3x}+3%2-x33x,+3x2-x3满足初始条件A(0)=1，;v2(0)=0,⑼=-1的特解.33.已知⑴A10001-110021-1.，求A的广义逆矩阵A+.34.设/1=/?(?是A的最大秩分解，证明：A+=C+B35.证明：线性方程组Ar=