矩阵论复习题(08年12月)

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1、矩阵论复习题第一部分证明题1求Frobenius矩阵的特征多项式和最小多项式。答案：（1），见修订版ch0例2.5（2）最小多项式就是其特征多项式。2设，求证的任一根满足提示：用上题和盖氏圆盘定理3设矩阵为Hermite矩阵，满足证明正定。提示：由圆盘定理证明的特征值全大于零。4证明矩阵9（1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。提示：利用圆盘定理。见修订版ch4例题4.65设是非奇异矩阵，证明：存在多项式，使得。提示：用Hamilton-Cayley定理。6设，证明与有相同的非零特征值。方法一：证明（

2、设）见修订版ch0定理2.9方法二：直接用特征值的定义证明。，要说明7证明Sylvester不等式提示：见修订版ch0定理3.12。注：还可用其他方法。8证明：的最小多项式是，讨论何时可对角化。提示：（1）满秩分解，（2）可对角化最小多项式没有重根9设初等矩阵9，求的Jordan标准形。答案：当时，当时，注（1）（2）Householder矩阵的行列式为(3)可逆，，10证明分解的“唯一性”。（1）设，则的QR分解几乎是唯一的。即如果有两个QR分解式和，则，其中。也就是，分解因子除相差一个对角元为的对角矩阵

3、外是唯一的。（2）设为非奇异矩阵，当限制的分解式中的对角元为正数时，则分解是唯一的。11设是可逆矩阵，如果矩阵满足，则是可逆矩阵。912设是阶实对称正定矩阵，证明提示：方法一：再递推方法二：用Cholesky分解再递推13设为阶的Hermite矩阵，其特征佂，证明对任意非零向量有提示：如果是实对称正定矩阵，这是线性代数常见题。证法是一样的。14，证明：提示：由2－范数的定义证明。见修订版ch4最后15设是非奇异矩阵，是方程组的一个近似解，是其精确解，记残向量，则这里所用的矩阵范数与向量范数是相容的。提示：见

4、修订版ch4最后。16证明Schur不等式：设是矩阵的个特征值，则其中等号成立的充分必要条件是正规矩阵。提示：书上的定理。917设的SVD为验证18设的SVD由上题给出，的列向量记为，的列向量记为，则（1）（2）19设，证明，从而再证明是的通解。提示：由的SVD表达式证明20证明是极小化问题唯一的最小F范数解。提示记，则21设均为阶实对称矩阵，且是正定的，试证明，存在非奇异矩阵使且其中为相对于的广义特征值（即）提示：这是众所周知的同时（合同）对角化问题，一般参考书都有，网上应该能找到。922证明任何阶实方阵

5、必有下面极因子分解其中是正交矩阵，都是半正定矩阵提示：用SVD证。23对于向量，如果，令Householder变换为（）则。提示：直接验证。24证明准对角矩阵（为方阵）的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍式。提示：见修订版ch3定理5.225证明第二部分计算题1、设（1）求的初等因子组；（2）求的标准形；（3）求可逆矩阵满足（4）计算，答案：见修订版ch3例4.9。92、设微分方程组，，（1）求的最小多项式；（2）求（3）求该方程组的解。答案：（1）；（2）；（3）3、讨论矩阵级数的收敛性，若收

6、敛，求其和答案：书上例题4、(1)设为常数矩阵，是向量变量，且，求。(2)设是给定的常向量，是矩阵变量，求和答案：书上例题5、对下面矛盾方程组（1）求的满秩分解；（2）由满秩分解计算；9（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解（或求最小二乘通解）。答案：（1），（不唯一）（2）；（3）；6、求的LU分解。答案：修订版ch6的例题7、分别用Gram-Schmidt正交化方法和Householder方法求矩阵的QR分解答案：修订版ch6例2.28、已知的SVD求。原题8证明：的最小多项式是，讨论何时可对角化。9

7、提示：（1）满秩分解，（2）可对角化最小多项式没有重根更正为8设，（1）证明：（2）证明：的最小多项式是（3）讨论何时可对角化。9