江苏大学研究生考试矩阵论复习题

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1、2014氣幻教1、设/(x)在［0,21上四阶连续可导，求/(x)次数不超过3次的插值多项式P(x),使满足插值条件:尸(0)=/(0)=1、尸(1)=/(1)=2、尸⑵=/(2)=1、，⑴=，1)=-1,并求余项表达式。2、(1)己知/(—1)=一2，/⑴=0，/(2)=4,求/(x)的二次插值多项式；(2)如果又知道/(1)=0,/(2)=3,求/(X)的四次插值多项式。3、设/Xx)=—//:(x)是对八％)在［-5,5］上取77二10并按等距节点所求得的分段线1+x性插值函数。(1)求//zu)在各节点间中点处的表达式(只需写岀其表达式，不做数位计算)；(2)在［一5,5］上

2、估计⑺与/(X)的误差。4、设/(x)eC2k，/?］，/⑻=0，/(/?)=1，证明：max

3、/(%)-maxT，(x)

4、。a

5、6^取最小值，并求此:S小值。8、(1)求函数/(X)=COS7CV在区间［0，1］上关于的二次最佳平方逼近多项式，并计算平方误差。jr(2)求函数/(x)=sin

6、x在［-1，1］上的二次最佳平方逼近多项式，并计算平方误差。9、设{外(x)K=()是区间［0，11上最高次项系数为1的带权=x正交的正交多项式，其中(Pq(X)=(1)求奶(X)，終(X);(2)求£巧^(又)也(,k=0,1,2,••-)；(3)利用此类带权正交多项式求函数/(x)=%3在［0，1］上带权p(x)=x的二次最佳平方逼近多项式。10、gf(x)=e2x,用复化求积公式对积分/=£/(1)办做数值计算，

7、要求误差不超过-xlO-5,则用复化梯形公式、复化辛普森公式、复化柯特斯公式时各需要在［0,1］上插入2的多少个等距节点？12、11、利用外推算法计算积分x2(外推到龙贝格公式为止，每步计算保留三位小数)。(1)求在［0,1］上以这三个节点为求积节点的插值型求积公式;(2)指明求积公式的代数精度；(3)用所求公式计算£(l+x+f+x3)^13、(1)确定求积公式rf(x)dx^4/(-/?)+Bf(x{)J-It巾的参数A、B,x,,使得该求积公式的代数精度尽量高，并指出它所具有的代数精度:(2)确定求积公式广2/if(x)dx-々•(-//)+邸⑼+C/(/2)J-2/j中的参数A

8、、B、C，使得该求积公式的代数精度尽量高，并指岀它所具有的代数精度。14、证明求积公式的代数精度不超过2m+1次。ak=015、设.门»(?3［%-〜+/2］，/2〉0,用插值型数值微分方法证明m)=^[/u0+/z)-/(x()-/o]-

9、m.“uu-m„+/o。16、用At/分解法解方程组xl+2x3=4

10、迭代格式为%(a+1)=Ba-(k)+/,女=0，1，2，...求证：若

11、

12、BI<1,那么求解该方程组的高斯一赛德尔格式必收敛。20、设/(X，力关于y满足李锊希兹条件，证明二阶龙格-库塔公式求解初值M题ly(^o)=>o时是收敛的。21、设/(X，力关于JV满足李普希兹条件，证明求解初值问题/=乂(又，)’)y(^=y0的屮点公式k2=/(、+鲁，>’〃+鲁炎1)是收敛的。22、己知曲线y=x3-0.5U+l与;>，=2.4?-1.89在某点处相切，切点的横坐标位于区间［1,2］上。以x0=2为初值，使用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值&+1，使

13、xa+1-a;

14、<10-2o(计算过程

15、中保留五位小数)23、对于迭代函数时x)=x+C(f-2)，试讨论：(1)C为何值时，x,+I=(p｛xk)(々=0，1,2,…)产生的序列在^邻近局部收敛？(2)C为何值时收敛最快？(3)针对收敛速度最快的惜形，计算识(X)的不动点要求

16、及+1-义

17、<10"5。(计算过程中保留七位小数)24、设识(x)=X-,试确定函数Xx)和9(x)，使求解/(义)=0且以(p(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛25、设厂〉0,讨论/(义)x>0x<0的牛