矩阵论导教导学导考(矩阵论西北工大学)

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1、附录试题精解试题一一、判断正误、填空或计算填空(20分):nn1.任给非零列向量x∈R及单位列向量z∈R(n>1),则存在n阶正交矩阵Q使Qx=

2、x

3、z.()2.设Hm是m阶Householder矩阵,In-m是n-m阶单位矩阵(mHmO1),则AíB的特征值是().4.已知矩阵Am×n,Bn×m及Cm×m,则矩阵方程AXB=C有解的充分必要条件是().110(1,2)5.已知A=001,则A=.00014-16.已

4、知A=-1-30,则A的Jordan标准形J=001.n×n二、(10分)证明:C中的矩阵范数‖·‖m与‖·‖F等价.∞166矩阵论导教·导学·导考3081三、(12分)已知A=3-16,x(0)=1.-20-51At1.求e.d2.用矩阵函数方法求微分方程x(t)=Ax(t)满足初始条件dtAtx(0)的解.(提示:可用待定法求e)355四、(12分)用Givens变换求A=034的QR分解.405五、(12分)用Gerschgorin定理分离矩阵2051A=4101(i=-1)1210i的特征值,并在复平面上画图表示.1011六、(12分)已知A=011,b=

5、1.11211.求A的满秩分解.+2.求A.3.求方程组Ax=b的极小范数解或极小范数最小二乘解x0(指出x0的类型).012×2七、(12分)在矩阵空间R中,B=,定义线性变换T:402×22×2TX=XB(X∈R).求R的一个基,使T在该基下的矩阵为对角矩阵.n八、(10分)设欧氏空间V的基x1,x2,⋯,xn的度量矩阵为A,证n明:在V中存在基y1,y2,⋯,yn,使满足1(i=j)(xi,yj)=0(i≠j)附录试题精解167试题一解答一、1.正确.因为可取Q为Householder矩阵,或者有限个Givens矩阵的乘积.T2.正确.设Hm=In-2umu

6、m(

7、um

8、=1),则TImOumumOumTTHn=-2=In-2um0OIn-mOO0umTTT令vn=,则vnvn=umum=1,即

9、vn

10、=1,故Hn=In-2vnvn0是Householder矩阵.3.AíB的特征值为iλj,即λ1,⋯,λm,2λ1,⋯,2λm,⋯,nλ1,⋯,nλm.(1)(1)T4.AACBB=C,或者vec(C)∈R(AíB).5.取置换矩阵P=(e1,e3,e2),则100100(1,2)A=P010=00000001026.det(λI-A)=(λ-1)(λ+1),由rank((-1)I-A)=2知,2(λ+1)是3-2=1个

11、初等因子.故A的初等因子为2(λ-1),(λ+1),从而1J=-11-1二、设A=(aij)n×n,则n122‖A‖m=n·max

12、aij

13、,‖A‖F=

14、aij

15、∞i,j∑i,j=1且有168矩阵论导教·导学·导考n1122‖A‖m=n[max

16、aij

17、]2≤n[

18、aij

19、]2=n‖A‖F∞i,j∑i,j=1122‖A‖F≤[n·max

20、aij

21、]2=n·max

22、aij

23、=‖A‖m∞i,ji,j故1‖A‖F≤‖A‖m≤n‖A‖F,即‖A‖m与‖A‖F等价.∞∞32三、det(λI-A)=(λ+1),由于A+I≠O,(A+I)=O,所以2λtA的最小多项式m(λ)=

24、(λ+1).设f(λ)=e=m(λ)g(λ)+λt(a+bλ),则f′(λ)=te=[mg]′+b,且有-tf(-1)=e=a-ba=(t+1)e-t-tf′(-1)=e=b-tb=te于是At-te=aI+bA=e[(1+t)I+tA]=1+4t08t-te3t16t-2t01-4t1+12tAt-tx(t)=ex(0)=e1+9t1-6tT34四、β1=(3,0,4),构造T13(c,s):c=·s=,则553045371T1=T13=050,T1A=0345-4030-4-1343A1=,β2=-4-1-434构造T12(c,s):c=,s=-,则55165

25、13-45T2=T12=,T2A1=5431305附录试题精解169于是1516-121T1T=T1,Q=T=01520T22520-129537165R=5,A=QR135-1五、取D=diag(1,1,3),则B=DAD的3个孤立盖尔圆中各有A的一个特征值.10110行101六、1.A011,A=01=FG01100011-1212-11+T-1TT12.F=(FF)F=F=123-1212-1+T++T1G=(F)=(F)=-123115-41+++1A=GF=-451911221+1+23.x0=Ab=2,AAb=1≠b,故x0是极小范数最9342小二乘解

26、.2×2七