西北工业大学矩阵论PPT课件.pdf

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1、矩阵论讲稿讲稿编者：张凯院使用教材：《矩阵论》（第2版）西北工业大学出版社程云鹏等编辅助教材：《矩阵论导教导学导考》《矩阵论典型题解析及自测试题》西北工业大学出版社张凯院等编课时分配：第一章17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时第三章8学时第六章8学时第一章线性空间与线性变换（第1节）1第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间一、集合与映射1．集合：能够作为整体看待的一堆东西．列举法：S={a,a,a,L}123性质法：S={aa所具有的性质}相等(S=S)：指下面二式同时成立12∀a∈S⇒a∈S,即S⊆S1212∀b∈S⇒b∈

2、S,即S⊆S2121交：SIS={aa∈S且a∈S}1212并：SUS={aa∈S或a∈S}1212和：S+S={a=a+aa∈S,a∈S}12121122a110例1S={A=a∈R}1ijaa2122a11a12S={A=a∈R}，S≠S2ij120a22a110SIS={A=a,a∈R}1211220a22a11a12SUS={A=aa=0,a∈R}121221ijaa2122a11a12S+S={A=a∈R}12ijaa21222．数域：关于四则运算封闭的数的集合．例

3、如：实数域R，复数域C，有理数域Q，等等．3．映射：设集合S与S，若对任意的a∈S，按照法则σ，对应唯一的121第一章线性空间与线性变换（第1节）2b∈S,记作σ(a)=b.称σ为由S到S的映射；称b为a的象，212a为b的象源．变换：当S=S时，称映射σ为S上的变换．121例2S={A=(a)a∈R}(n≥2)．ijn×nij映射σ：σ(A)=detA(S→R)11变换σ：σ(A)=(detA)I(S→S)22n二、线性空间及其性质1．线性空间：集合V非空，给定数域K，若在V中(Ⅰ)定义的加法运算封闭,即∀x,y∈V,对应唯一元素(

4、x+y)∈V,且满足(1)结合律：x+(y+z)=(x+y)+z(∀z∈V)(2)交换律：x+y=y+x(3)有零元：∃θ∈V,使得x+θ=x(∀x∈V)(4)有负元：∀x∈V,∃(−x)∈V,使得x+(−x)=θ.(Ⅱ)定义的数乘运算封闭,即∀x∈V,∀k∈K,对应唯一元素(kx)∈V,且满足(5)数对元素分配律：k(x+y)=kx+ky(∀y∈V)(6)元素对数分配律：(k+l)x=kx+lx(∀l∈K)(7)数因子结合律：k(lx)=(kl)x(∀l∈K)(8)有单位数：单位数1∈K,使得1x=x.则称V为K上的线性空间．nm×

5、n例3K=R时，R—向量空间；R—矩阵空间第一章线性空间与线性变换（第1节）3P[t]—多项式空间；C[a,b]—函数空间nnm×nK=C时，C—复向量空间；C—复矩阵空间+例4集合R={mm是正实数}，数域R={kk是实数}．+加法：m,n∈R,m⊕n=mn+k数乘：m∈R,k∈R,k⊗m=m+验证R是R上的线性空间．证加法封闭，且(1)～(2)成立．(3)m⊕θ=m⇒mθ=m⇒θ=1(4)m⊕(−m)=θ⇒m(−m)=1⇒(−m)=1m+数乘封闭，(5)～(8)成立．故R是R上的线性空间．2例5集合R={α=(ξ,ξ)ξ∈R}，数

6、域R．设β=(η,η),k∈R．12i12运算方式1加法：α+β=(ξ+η,ξ+η)1122数乘：kα=(kξ,kξ)12运算方式2加法：α⊕β=(ξ+η,ξ+η+ξη)11221112数乘：koα=(kξ,kξ+k(k−1)ξ)121222可以验证R(+⋅)与R(⊕o)都是R上的线性空间．22[注]在R(⊕o)中,θ=(0,0),−α=(−ξ,−ξ+ξ)．121Th1线性空间V中的零元素唯一，负元素也唯一．证设θ与θ都是V的零元素,则θ=θ+θ=θ+θ=θ12112212设x与x都是x的负元素,则由x+x=θ及x+x=θ可得1212

7、x=x+θ=x+(x+x)=(x+x)+x111212=(x+x)+x=θ+x=x+θ=x12222第一章线性空间与线性变换（第1节）4例6在线性空间V中，下列结论成立．0x=θ：1x+0x=(1+0)x=1x⇒0x=θkθ=θ：kx+kθ=k(x+θ)=kx⇒kθ=θ(−1)x=(−x)：(−1)x=(−1)x+[x+(−x)]=[(−1)x+1x]+(−x)=(−x)2．减法运算：线性空间V中，x−y=x+(−y)．3．线性组合：x,x∈V,若存在c∈K,使x=cx+L+cx,则称xii11mm是x,L,x的线性组合，或者x可由x

8、,L,x线性表示．1m1m4．线性相关：若有c,L,c不全为零，使得cx+L+cx=θ，则称1m11mmx,L,x线性相关．1m5．线性无关：仅当c,L,c全为零时，才有cx+L+cx=θ，则称1m11mmx,L,x线性