西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换

《西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、例求下列矩阵的特征值与特征向量：1)第一章矩阵的相似变换§1基本概念解A的特征值为对于求解由于同解方程组为基础解系为故对应的所有特征向量为对于求解由于同解方程组为特征向量为对于求解由于同解方程组为特征向量为2)解A的特征值为求解由于基础解系为对应的所有特征向量为不全为0)同解方程组为3)解A的特征值为对于求解由于同解方程组为基础解系为对应的全部特征向量为对于求解由于同解方程组为即对应有3个线性无关的特征向量全部特征向量为不全为0)例下列矩阵是否可对角化？若可以，试求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵：1)解A的特征值为因为A的特征值互异，所以A

2、可对角化。又对应的特征向量分别为可求得§2相似对角化故相似变换阵使得2)解所以A的特征值为对应三重特征值2有两个线性无关的特征向量故A不可对角化。可求得3)解对应三重特征值2有三个线性无关的特征向量故A可对角化。又对应的特征向量为故相似变换阵可求得所以A的特征值为使得例试求解其中于是已知可求得例解求解一阶线性常系数微分方程组令则微分方程组可写成矩阵形式可求得使得令其中注意到代人前一式得即写成分量形式为解之得故得任意)例解所以A的特征值为又对应有2个线性无关的特征向量求下列矩阵的Jordan标准形：1)可求得§3Jordan标准形介绍故A的J

3、ordan标准形为(或2)解所以A的特征值为可求得故A的Jordan标准形为(或又对应只有一个线性无关的特征向量上述方法的缺点是，当A的某个特征值的重数为4或大于4时，其对应的Jordan块可能无法确定。例解求的Jordan标准形。注可求得且此时A对应5重特征值1有3个线性无关的特征向量，直接按特征向量法无法确定A的Jordan标准形。设则可求得且所以A1和A2的Jordan标准形分别为且故A的Jordan标准形为求用所得的商式和余式。除例已知多项式解可求得故以g()除f()所得的商式为余式为例解用初等变换化为Smith求下列矩阵的Jo

4、rdan标准形：1)第一步：对标准形：从而A的不变因子为第二步：(此处是和分解成关于的不同的一次因式方幂的乘积，本题中A的初等因子为和再把A的每个次数大于零的不变因子并分别写出这些方幂(相同的按出现的次数计数)，称之为A的初等因子，第三步：作出Jordan块对每个初等因子阶所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵J即是A的Jordan标准形。本题中A的Jordan标准形为2)解A的不变因子为A的初等因子为A的Jordan标准形为例已知一个12阶矩阵的不变因子是求A的Jordan标准形。解A的初等因子为故A的Jordan标准形

5、为：例解求下列矩阵的Jordan标准形：1)一阶子式共有9个，显然二阶子式共有个：所以又故从而A的不变因子为A的初等因子为A的Jordan标准形为2)解其中三阶子式故从而又有所以A的不变因子为A的初等因子为A的Jordan标准形为3)解中有一个5阶子式所以又A的不变因子为A的初等因子为A的Jordan标准形为例解中3阶子式求矩阵的Jordan标准形。因为整除所有3阶子式，且所以A的不变因子为故A的Jordan标准形为例的Jordan标准形J及所用的相似变换阵P。解求矩阵已求得A的Jordan标准形为设即按列分块，则由即得即也即由上式可见，分

6、别是特征值1和3对应的可利用已求出的求解非齐次方程组而特征向量，而作为右端项，得到，又可由求解非齐次方程组得到。可求得特征值1对应的特征向量为取求解由于同解方程组为令得再求解由于同解方程组为令得取为对应特征值3的特征向量故相似变换阵使得是特征值1的广义特征向量。注称它们不是唯一的。例的Jordan标准形和所用的相似变换阵。解求矩阵A的特征值为求解由于同解方程组为基础解系为从而A的Jordan标准形为若设使得则有可见应取对应特征值的两个线性无关的特征向量。(注为得到求解方程组即这是矛盾方程组。)若取处理方法如下：取定又令只要则也是对应选择其中

7、的系数使的特征向量，满足两点:（1）与（2）使方程组由于线性无关；有解。可见，方程组有解。则它与又同解方程组为时，取线性无关。当令得故相似变换阵使当一个重特征值对应2个及2个以上的Jordan注块时，经常要作这样的处理，应加以注意。例的n个特征值为证明证取行列式即得。设根据Jordan标准形理论，存在n阶可逆阵P使(其中*代表0或1)例求已知解其中可求得故例解其中求解微分方程组首先化为矩阵形式可求得其中令其中代入方程得即写成分量形式为由第1,3个方程解得这是一阶线性微分方程，故任意)代入第2个方程得其解为例求2)已知1)解1)用带余除法§4

8、Hamilton-Cayley定理设用可得由于所以除其中A的特征多项式为2)需求出注意满足又对(*)式求导得解得用待定系数法设(*)(**)将代入(*)式和上式并利用(**)式得