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1、2011矩阵论复习题1.设是正实数集,对于任意的,定义与的和为对于任意的数,定义与的数乘为问:对于上述定义加法和数乘运算的集合,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的,,定义与的和为对于任意的数,定义与的数乘为问:对于上述定义加法和数乘运算的集合,是否构成线性空间,并说明理由.3．设，试证明是的子空间，并求的一组基和.4.设表示次数不超过的全体多项式构成的线性空间,证明是的子空间,并写出的一组基和计算.5.设是上的线性变换,对于基向量和有1)确定在基下的矩阵;2)若,确定在基下的矩阵.6.设是上的线性变换,对于基有1)确定在基下的矩阵;2)求的零
2、空间和像空间的维数.7.在线性空间中讨论的线性相关性.8.在中求由基(I)到基(II)的过渡矩阵.9.已知设,求线性空间的维数和基.10.在中,对任意的定义内积为若取的一组基,试用正交化方法,求的一组正交基.11.在中，内积定义为：（1）如果，计算；（2）证明：任一线性多项式，都正交于.12.设是上的阶方阵,是上的维列向量,证明：.13.设,并且满足,计算和.14.已知，求的最大秩分解。15.求矩阵的奇异值分解.16.设，1）证明：;2)证明：是半正定矩阵或正定矩阵。17.求下列矩阵的谱阵和谱分解18.设是阶单纯矩阵的重数为的特征值,是的对应于的谱阵
3、,证明1)2)19.设函数矩阵,求,和.20.证明1)2)21.已知,,求22.设是的一种矩阵范数,和是阶可逆矩阵,且,试证明对任意的，也是的一种矩阵范数.23.已知是上的矩阵范数，是中的某非零列向量，设证明它是上的向量范数，并且与矩阵范数相容。24.设,和是酉矩阵,证明:25.已知,其中且,证明:.26.已知,1)证明是矩阵;2)求方阵函数.27.已知，1)求的标准形;2)求可逆矩阵,使28.已知,求和.29.设为阶方阵,求证特别地当为反对称矩阵时有30.设,求方阵函数和.31.证明:线性方程组(其中)有解的充分必要条件是32.已知,求的广义逆矩阵
4、.33.已知,求的广义逆矩阵.34.设是的最大秩分解,证明:35.求微分方程组的通解及满足初始条件的特解.
