函数与导数试题类型及解题策略.doc

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1、函数与导数试题类型及解题策略薛守勇一求切线方程的基本步骤：找切点，求导数，得斜率，代直线方程二导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)；(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．例题（根据高考题改编）设函数f（x）=aex++b（a＞0）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，求a，b的值．解：求导函数，可得）∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=，∴，即，解得．同类型练

2、习（根据高考题改编）在实数集R上定义运算：（I）求的解析式；（II）若函数处的切线斜率为—3，求此切线方程；解（I）（II）由条件得而题4解：设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1－x02，而此直线与曲线y=－2x2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判别式Δ=4x02－2×4×（2－x02）=0.解得x0=±，y0=.∴P点的坐标为（，）或（－，）.函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单

3、调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．例题（根据高考题改编）已知函数（为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求的单调区间解(I)，由已知，，∴.(II)由(I)知，.设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.同类型练习（根据高考试题改编）设函数，其中为常数.（Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；（II）讨论函数的单调性.解(1)(2)1．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求

4、方程f′(x)＝0的根x0；(3)检查f′(x)在x＝x0左右的符号；①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．例题（根据高考试题改编）函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1.(1)若y＝f(x)在x＝－2时有极值，

5、求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值；(3)若函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导数得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)．而过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1.故即∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0.∴－4a＋b＝－12.③由①②③联立解得a＝2，b＝－

6、4，c＝5，∴f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－2.列下表：x－3(－3，-2)-2（-2，)(，1)1f′(x)＋，0－0＋f(x)8极大值极小值4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f()＝.又∵f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.(3)y＝f(x)在[－2,1]上单调递增．又f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由(1)知2a＋b＝0.∴f′(x)＝3x2－bx＋b.依题意在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3

7、x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立，当x＝≥1时，即b≥6时，[f′(x)]min＝f′(1)＝3－b＋b>0，∴b≥6时符合要求．当x＝≤－2时，即b≤－12时，[f′(x)]min＝f′(－2)＝12＋2b＋b≥0，∴b不存在．当－2<<1即－12

8、区间；为其单调递增区。（2）所以的定义域也为，且令(*)则(**)时,恒成立,所以为上的单调递增函数，又，所