第三章补遗矩阵的初等变换和线性方程组.docx

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1、分块矩阵1、加法：把两个矩阵用相同方式分成几块后，仍然满足矩阵的加法。2、乘法：两个矩阵乘法的分块情况3、转置：一个分块矩阵转置后的情况，则。这个公式在计算具体数字的题时并没有意义，因为矩阵直接可以得到转置就行了。但是如果是m行n列的某些证明，则就会有用了。4、若A可分成如下形式：，该形式的分块矩阵称为分块对角矩阵。5、行列式的值：分块对角矩阵行列式的值.6、逆：分块对角矩阵行列式的逆。若分块对角矩阵的行列式值，则说明各个，因此初等行变换1、初等行变换的原理注：在书写时要写成A~B，表示A与B相似，意为A经过初等行变换可以化成B。这种求法根

2、据的定理是61页的定理：设A，B是m*n的矩阵，则的充分必要条件是存在m阶矩阵P；使得PA=B。这个定理说明，若存在可逆矩阵P，使得PA=B，那么，反之亦然。根据这个定理，若A存在逆，如何求呢？设PA=B，如果B=E，则P就是A的逆。现在要求P。先求一般的情况（B不一定是E时）即：A初等行变换成E时，E自然的就变成了P即A的逆。矩阵的秩性质1、矩阵做行列式变换和初等行变换有什么关系？答：初等行变换后的行列式的值一定是行列式的值放大或缩小多少倍。这就说明，如果该矩阵行列式的值非零，即为非奇异矩阵，则用初等行变换后的矩阵一定是满秩的。即，初等行

3、变换后行列式的值虽然和原矩阵的行列式的值不同，但是无论怎么变，非零与否却是不变的。原行列式不满秩。这些都是相服相通的。矩阵可逆、矩阵满秩、矩阵行列式不等于零、矩阵行（列）向量组线性无关、矩阵非奇异、以该矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解。。这些说法都是等价的，即可以互推的！2、由于R(A)是A的非零子式的最高阶数，因此若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则R(A)>=s；若A中所有t阶子式全为0，则R(A)

4、故有对于n阶方阵A，由于A的n阶子式只有一个

5、A

6、，因此当

7、A

8、≠0时R(A)=n，当

9、A

10、=0时R(A)

11、,Q可逆，则都是一个原理。3、R(A)+R(B)-n<=R(AB)<=min{R(A),R(B)}R(A+B)<=R(A,B)<=R(A)+R(B)方程组解的性质例：非齐次线性方程组，求是何值时，此方程组无解，有唯一解，有无穷解？并在无穷解时求其通解。提示：如果进行初等行变换成阶梯式很难做，不妨用行列式的性质来做。