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《第三章矩阵的初等变换与线性方程组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1);解(下一步:r2+(-2)r1,r3+(-3)r1.)~(下一步:r2¸(-1),r3¸(-2).)~(下一步:r3-r2.)~(下一步:r3¸3.)~(下一步:r2+3r3.)~(下一步:r1+(-2)r2,r1+r3.)~.(2);解(下一步:r2´2+(-3)r1,r3+(-2)r1.)~(下一步:r3+r2,r1+3r2.)~(下一步:r1¸2.)~.(3);解(下一步:r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1.)~(下一步:r2¸(-4),r3
2、¸(-3),r4¸(-5).)~(下一步:r1-3r2,r3-r2,r4-r2.)~.(4).解(下一步:r1-2r2,r3-3r2,r4-2r2.)~(下一步:r2+2r1,r3-8r1,r4-7r1.)~(下一步:r1«r2,r2´(-1),r4-r3.)~(下一步:r2+r3.)~.2.设,求A.解是初等矩阵E(1,2),其逆矩阵就是其本身.是初等矩阵E(1,2(1)),其逆矩阵是E(1,2(-1))..3.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:(1);解~~~~故逆矩阵为.(2).解~~~~~故逆矩阵为.4.(1)
3、设,,求X使AX=B;解因为,所以.(2)设,,求X使XA=B.解考虑ATXT=BT.因为,所以,从而.5.设,AX=2X+A,求X.解原方程化为(A-2E)X=A.因为,所以.6.在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式?有没有等于0的r阶子式?解在秩是r的矩阵中,可能存在等于0的r-1阶子式,也可能存在等于0的r阶子式.例如,,R(A)=3.是等于0的2阶子式,是等于0的3阶子式.7.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎样?解R(A)³R(B).这是因为B的非零子式必是A的非零子式,故A的秩不会小于B的秩
4、.8.求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:,此矩阵的秩为4,其第2行和第3行是已知向量.9.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:(1);解(下一步:r1«r2.)~(下一步:r2-3r1,r3-r1.)~(下一步:r3-r2.)~,矩阵的,是一个最高阶非零子式.(2);解(下一步:r1-r2,r2-2r1,r3-7r1.)~(下一步:r3-3r2.)~,矩阵的秩是2,是一个最高阶非零子式.(3).解(下一步:r1-2r
5、4,r2-2r4,r3-3r4.)~(下一步:r2+3r1,r3+2r1.)~(下一步:r2¸16r4,r3-16r2.)~~,矩阵的秩为3,是一个最高阶非零子式.10.设A、B都是m´n矩阵,证明A~B的充分必要条件是R(A)=R(B).证明根据定理3,必要性是成立的.充分性.设R(A)=R(B),则A与B的标准形是相同的.设A与B的标准形为D,则有A~D,D~B.由等价关系的传递性,有A~B.11.设,问k为何值,可使(1)R(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.解.(1)当k=1时,R(A)=1;(2)当k
6、=-2且k¹1时,R(A)=2;(3)当k¹1且k¹-2时,R(A)=3.12.求解下列齐次线性方程组:(1);解 对系数矩阵A进行初等行变换,有A=~,于是,故方程组的解为(k为任意常数).(2);解对系数矩阵A进行初等行变换,有A=~,于是,故方程组的解为(k1,k2为任意常数).(3);解对系数矩阵A进行初等行变换,有A=~,于是,故方程组的解为.(4).解对系数矩阵A进行初等行变换,有A=~,于是,故方程组的解为(k1,k2为任意常数).13.求解下列非齐次线性方程组:(1);解对增广矩阵B进行初等行变换,有B=~,于
7、是R(A)=2,而R(B)=3,故方程组无解.(2);解对增广矩阵B进行初等行变换,有B=~,于是,即(k为任意常数).(3);解对增广矩阵B进行初等行变换,有B=~,于是,即(k1,k2为任意常数).(4).解对增广矩阵B进行初等行变换,有B=~,于是,即(k1,k2为任意常数).14.写出一个以为通解的齐次线性方程组.解根据已知,可得,与此等价地可以写成,或,或,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15.l取何值时,非齐次线性方程组.(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解?解.(1)要使方程组有唯一解,必须R(
8、A)=3.因此当l¹1且l¹-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解,必须R(A)
