矩阵的初等变换与线性方程组

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1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组7/19/20211§1矩阵的初等变换引例求解线性方程组7/19/20212用消元法7/19/202137/19/20214令代入方程组，得解7/19/20215消元法的三类变换：（1）对调二个方程的次序；（2）以非零的数k乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．由于三类变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后是同解的．7/19/20216定义1：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:同样可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”)．初等行变换和初等列变换统称初等变换。7/19/20217三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类的初等变换。7/19/

2、20218若矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称A与B等价，记作A～B.矩阵的等价关系满足：反身性A～A；对称性若A～B，则B～A；传递性若A～B，B～C，则A～C。7/19/20219(1)的增广矩阵线性方程组7/19/2021107/19/202111行阶梯形7/19/202112行最简形令7/19/202113等价标准形7/19/202114任一m×n矩阵A都等价于一个如下的矩阵称为A的等价标准形。7/19/202115§2初等矩阵定义2：由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。三类初等变换与三类初等方阵相对应7/19/2021167/19/2021177/19/2021187

3、/19/202119三类初等矩阵：其中7/19/202120三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。7/19/202121定理1：设A为m×n矩阵，则7/19/2021227/19/202123方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。定理2：证明：充分性.必要性.7/19/202124方阵A可逆的充要条件是A~E推论1：推论2：m×n阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得PAQ=B注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。7/19/202125例.7/19/202126即7/19/202127解：例：7/19/2021287/1

4、9/2021297/19/202130例：解：初等行变换7/19/2021317/19/2021327/19/202133§3矩阵的秩定义3：在矩阵A中，任取k行、k列所得的k2个元素不改变它们的相对位置而得的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。A的一个2阶子式：7/19/202134定义4：矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为A的秩，记作R(A)。例4.求矩阵A和B的秩,其中7/19/2021352阶子式3阶子式

5、A

6、=03阶子式4阶子式都=0∴R(A)=2∴R(B)=37/19/202136定理3若A~B,则R(A)=R(B).事实上，若A经过一次初等变换变为B，A的k阶子式全等于零,则B的k

7、阶子式也全等于零。7/19/202137性质1.若A的所有r阶子式(如果有)全等于零，则阶数大于r的所有子式全等于零。若A的所有k阶子式全等于零,则R(A)

8、假定7/19/202143(#)7/19/202144(1)若，则(#)无解。(2)若则(#)有解，并且当时，有唯一解。时，有无穷多解。7/19/202145非齐次性线性方程组解的条件定理4：非齐次线性方程组有解的充要当时，有唯一解；当时，有无穷多解。条件是，并且7/19/202146例10：求解线性方程组解：7/19/202147可知方程组无解。7/19/202148例11：求解线性方程组解：7/19/2021497/19/202150得令故7/19/2021517/19/202152齐次性线性方程组解的条件定理6：齐次线性方程组有非零解的充要条件是7/19/202153例9：求解齐次线性

9、方程组解：7/19/2021547/19/2021557/19/202156矩阵方程有解的条件定理6：矩阵方程有解的充要条件是7/19/202157定理9：矩阵方程有非零解充要条件是有非零解的有非零解7/19/202158线性代数答疑辅导时间:每周二12:20到13:20地点:(数学系)致远楼102室7/19/202159