矩阵的初等变换与线性方程组

《矩阵的初等变换与线性方程组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组12第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。§1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。一、引例①②③④求解线性方

2、程组(1)①②③④③«④④-2③②¸2③+5②④-3②②-③③-2①④-3①①«②③¸2(1)问题10共采取了几种变换将(1)变为的？（三种：(ⅰ)交换方程的次序；(ⅱ)用数乘某方程；(ⅲ)将某方程的k倍加到另一方程上。且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与是否同解？即这三种变换是否都可逆？（都可逆，即同解变换）30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？（阶梯形。其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程；将③代入②得，表明(或)可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未

3、知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40由于(1)与其增广矩阵构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？①«②③¸2②-③③-2①④-3①变换前后对应的矩阵一般不相等③«④④-2③②¸2③+5②④-3②.对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组12二、初等变换1、定义1以下

4、三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ)对调两行（对调i、j两行记作：）；(ⅱ)以数k¹0乘某行中的所有元素（第i行乘k记作：）；(ⅲ)将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j行的k倍加到第i行记作：）。将定义中的“行”换成“列”，即可得到矩阵初等列变换的定义，将记号中的r换成c就是初等列变换的记号。初等行、列变换通称初等变换。注显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换仍为同种的初等变换：的逆变换为；的逆变换为；的逆变换为.注意矩阵的初等变换与行列式的性质运算从定义到记号虽然十分相似，但又根本不同，千万不能混淆。再次强调：经行列式运算得到的行列式与原行列式是相等的，但经

5、初等变换得到的矩阵与变换前的矩阵千万不能用等号连接，它们是不相等的，我们称它们是等价:定义2若对矩阵A实行有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A~B.类似于无穷小的等价概念，我们称A与B为等价是因为它确实是一种等价关系，它具有：①自反性———A~A；（取k=1，作乘数初等变换即可）②对称性———A~BÞB~A；（∵初等变换都是可逆的）③传递性———A~B，B~CÞA~C.（将两次的初等变换合并到一起对A作即可）初等变换是线性代数的一个重要工具，首先利用初等变换可以将任一矩阵化为形如的矩阵，我们形象地称之为行梯形阵，其特征：可画一阶梯线，线下方的元素均为0，每层

6、台阶的高度只有一行，阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后的第一个元素是一非零数，它也是非零行的第一个非零数。r1«r2r3¸2r2-r3r3-2r1r4-3r1例如x1x2x3x4r1-r2r2-r3r3«r4r4-2r3r2¸2r3+5r2r4-3r2.注是一个更简单的行梯形阵，其特征：非零行的第一个非0元素均为1，且这个1所在的列中其它元素均为0。用方程组的语言来说这个特征：只有一个元素是1，其余元素均为0的列恰为非自由未知量所对应的列。它对应的同解方程组是Û———这个结果正是将回代入对应的方程组时所求得的解，即对应的方程组就是回代结果，即取为自由变量，并令，即得x=，

7、其中c为任意常数。这表明得到矩阵就等于得到了方程组的解，鉴于形式的重要性，我们给它起个名称———行最简形。也就是说：解一个线性方程组，只需将它对应的增广矩阵B经初等行变换变成其行最简线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组12形即可得到方程组的解。有无自由未知量决定于非零行的阶宽，对一个阶宽就多一个自由未知量。不看最后的常数列时，阶加宽一列，其阶数就少一层，故：自由未知量的个数=未知量个数-非零行行数=n–r！！！由于方程组与其增广矩阵是一一对应的，故自然地猜想：任何一个矩阵的行最简形式是唯一的，从而行阶梯形中非零