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《第三章 矩阵的初等变换与线性方程组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、线性代数教案 信息与数学学院数学与应用数学教研室第三章矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1矩阵的初等变换；§3.2初等矩阵教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．（2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法．（3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质．教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手
2、，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合课时安排：2课时教学过程§1矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”.定义1对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.初等变换行变换列变换①对调②数乘③倍加矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的
3、初等变换.经过初等变换得到,记作．定义2等价矩阵：若,称与等价,记作．矩阵之间的等价关系有下列性质:(1)自反性：(2)对称性：(3)传递性：,定义3在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.16第三章矩阵的初等变换与线性方程组线性代数教案 信息与数学学院数
4、学与应用数学教研室例1设，利用初等行变换化为行最简形矩阵.解行最简形：标准形：§2初等矩阵定义4对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵.1.2.3.设16第三章矩阵的初等变换与线性方程组线性代数教案 信息与数学学院数学与应用数学教研室性质1,,由此可得：对进行一次初等行变换,相当于给左乘一个同类型的初等矩阵.性质2注意：因此可得：对进行一次初等列变换,相当于给右乘一个同类型的初等矩阵． 性质3,,,定理1可逆可以表示为有限个初等矩阵
5、的乘积．证必要性已知,则满秩,故存在初等矩阵及,使得,而与都是初等矩阵．充分性设，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故可逆.定理2设,,则存在可逆矩阵和,使得．证必要性已知,则存在阶初等矩阵和阶,使得,令,则有．充分性已知,则由定理1知,和都可以表示为有限个初等矩阵的乘积,即,故,也就是．由此可得矩阵求逆方法之二（初等行变换法）（都是初等矩阵）16第三章矩阵的初等变换与线性方程组线性代数教案 信息与数学学院数学与应用数学教研室由此可得：对矩阵施行“初等行变换”，当前
6、列（的位置）成为时，则后列（的位置）为．例2设.用初等变换法求解故．例3设，试用初等变换法求解依次作初等行变换,,可得故．16第三章矩阵的初等变换与线性方程组线性代数教案 信息与数学学院数学与应用数学教研室例4判断方阵是否可逆.若可逆，求解因为，所以，故不可逆，即不存在.[注]此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5解矩阵方程，其中，.解思考与作业：习题三P79:1(1)(4)4,516第三章矩阵的初等变换与线性方程组线性代数教案
7、 信息与数学学院数学与应用数学教研室讲授内容§3.3矩阵的秩教学目的和要求：通过对矩阵的秩的定义及求法的了解，使学生明白矩阵的秩在矩阵理论中重要性．理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩.教学重点：矩阵的秩.教学难点：理解矩阵的秩的概念和基本性质，矩阵的秩的定义及计算.教学方法与手段：矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数来定义的，因此，若R（A）=r，则意谓着，A中必有一个r阶非零子式，同时A中所有的r+1阶子式（若存在的话）必为零.搞清楚了矩阵的秩的概念，便可进一步理
8、解矩阵的秩的基本性质及其它性质．传统教学,教练结合课时安排：2课时教学过程矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用.一、矩阵的秩的基本概念定义4.子式：在中,选取行与列,位于交叉处的个数按照原来的相对位置构成阶行列式,称为的一个阶子式,记作．对于给定的,不同的阶子式总共有个．定义5.矩阵的秩：在中，若(1)有某个阶子式；(2)
