高数和现代知识点大全.docx

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1、【高等数学】记住特殊函数xsinx、xsin（1/x）第一章函数极限连续1.函数的基本性质a)奇偶b)周期c)有限2.判定闭区间函数有界的方法a)连续函数有界b)在闭区间存在两最值的函数有界c)有界函数和、积有界3.函数极限的求法a)初等化简（分子分母同乘、提公因式）b)直接计算出不为零的因式c)等价无穷小d)罗比达法则e)佩亚诺余项泰勒公式f)夹逼定理g)重要极限h)导数定义4.数列极限的求法a)单调有界定理（判定单调时相减或相除）b)夹逼定理c)积分和式求极限d)数列极限存在的充要条件（奇偶子列极限存在且相等）e)柯

2、西收敛准则5.零点问题的求法a)连续函数：零点定理和介值定理、超越方程的对数变形和对数方程的指数变形b)导函数：导函数零点数定理c)复合函数：构造法+微分方程法、罗尔定理d)定积分与变限积分：i.化成变限积分看成变限积分的函数，用微分学中的办法处理ii.利用积分中值定理6.闭区间函数最值的求法a)求出闭区间内一切驻点和不可导点的函数值b)求出边界上的最值，两者比较7.渐近线的种类a)水平/斜b)铅直8.不等式的证明a)单调性方法b)最值的方法c)用中值定理（拉格朗日、柯西）a)用拉格朗日余项的泰勒公式2.第三章一元函数积

3、分学1、两类反常积分的识别和计算a)奇点在区间端点（比较容易识别）b)奇点在区间内部（易被忽略！！）2、定积分在物理上的应用a)建立坐标系b)根据公式建立所求量的微元（关键）c)确定上下限d)计算定积分3、积分不等式的证明a)将一边视为变限积分b)用积分不等式（被积函数比较）c)一边有积分号一边没有的化归到一样d)不同区间的化归同一区间第五章多元函数微分学1.求二重极限的方法a)夹逼定理b)等价无穷小代换c)简化分母（比如x^2+y^2->x^2等）2.讨论二元函数的可微性a)利用可微的定义b)可微的必要条件（必可导）c

4、)可微的充分条件（一阶导连续）3.由一个方程确定的隐函数的偏导数a)利用隐函数的求导公式b)对方程两端求导解出偏导数（方程组）c)对函数两端求微分（方程组）4.极值a)无条件极值i.极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点ii.二元函数取极值的充分条件（A、B、C）b)条件极值i.拉格朗日乘子法（可用于多约束条件）c)闭区域二元函数的最值问题i.区域内是无条件极值问题ii.边界上是条件极值问题第六章多元函数积分学1.二重积分的计算a)画出积分域，观察是否有对称性，并观察被积函数是否存在奇偶性，利用其化简b)选择坐标系a)选择

5、积分次序b)确定积分限并计算2.类次积分交换积分顺序a)确定积分区域并画出草图b)结合图像改变积分次序，确定积分域3.累次积分的计算a)直接计算不方便则改变积分顺序b)任然不行则换坐标系4.计算三重积分a)考察对称性和奇偶性，化简b)选择合适坐标系c)化为累次积分计算5.（二维）对弧长的曲线积分a)利用公式直接计算i.参数方程ii.直角坐标系iii.极坐标系b)利用曲线关于坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性c)利用曲线关于y=x的对称性6.（二维）对坐标的线积分a)利用参数方程化为一元积分直接计算b)用格林公式（一定要满足

6、公式适用的条件）c)补用格林公式（补的路径也要满足公式适用条件）d)利用线积分与路径无关7.（三维）曲线积分a)弧长：参数方程直接计算b)坐标：斯托克斯公式化为面积分8.对dS的曲面积分（求面质量，无方向）a)Z=z(x,y)，dS=√1+z'2+z'2dxdy，转化到平面积分，积分域为S在xOy面上的投影（这是最基本的方法）b)利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性c)利用曲面方程中变量的交换不变性9.对dxdy/dydz/dzdx的曲面积分（求流量，有方向）a)若仅求dxdy或其他上的积分，则被积函数中的z用z(x,

7、y)表示，直接转化为平面积分，积分域为曲面在xOy面上的投影（这是常见的情况）b)一般第二种情况都转化到利（补）用高斯公式上来（注意高斯公式适用条件，区域内一阶导连续）（这也是常见情况）c)利用公式将第二类曲面积分转换为对dS的曲面积分，dydz=cosα*dS,dzdx=cosβ*dS,dxdy=cosγ*dSd)转换到对dS后，再转换到对dxdy的平面积分；或者直接利用公式将对dxdy,dydz和dzdx的曲面积分，转化到只在dxdy上的平面积分第七章无穷级数1.常数项级数敛散性a)正项级数敛散性判别i.比较法（p级

8、数、等比级数）ii.比较法极限形式iii.比值法iv.根植法v.基本定理：级数收敛等价于部分和数列有界vi.利用性质：1.收敛级数加括号仍收敛，级数加括号后发散原级数定发散2.收敛必要条件：一般项趋于零b)交错级数i.莱布尼兹判别法c)任意项级数i.绝对收敛的级数一定收敛ii.条件收敛的级数的所有正项或负向构成的级数