高数导数和积分大全

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1、一、基本初等函数导数公式第一节求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点可导,且例：三、复合函数的求导法则定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)例例2复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.理论推广例3设求解:练习：求下列函数的导数第二节定积分一、定积分的定义积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示

2、无关,即性质1常数因子可提到积分号外性质2函数代数和的积分等于它们积分的代数和。二、定积分的简单性质性质3若在区间[a,b]上f(x)≡k，则性质4定积分的区间可加性若c是[a,b]内的任一点，则当a,b,c的相对位置任意时,例如则有则积分上限函数定理1.若三、牛顿–莱布尼兹公式定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.(牛顿-莱布尼兹公式)记作定理2.函数,则例1、计算解:例2、设求解例3其中解:四、定积分的换元法和分部积分法定理（定积分的换元公式）设函数f(x)在区间[a,b]

3、上连续；函数在上单值且有连续导数；当时，有，且则例1.计算解:令则∴原式=且例2.计算解:令则∴原式=且例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零定理（定积分的分部积分公式）设函数u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则例4.计算解:原式=第三节广义积分（反常积分）引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为定义1.设若存在,则称此极限为f(x)在区间的广义积分,记作类似地,若则定义第三节广义积分（反常积分）则定义(c为任意取定的常数)引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:例1.计算广义积分

4、解:例2.计算广义积分解:第五节二重积分其中D是积分区域定理设在矩形区域上可积，且对每个积分存在，则累次积分也存在，且特别当在矩形区域连续时，有例1计算其中解区域定理设在X-区域D上连续，y1(x),y2(x)在[a,b]连续，则称为X–型区域区域则称为Y–型区域.若D为Y–型区域.若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则例2、计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则例3、计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解及直线这是Y-区域，画

5、出积分区域的图形先对x后对y积分,解法2D也是X-型区域，显然解法1比解法2好！例4、计算其中D是直线所围成的闭区域.解:画积分区域图形，因为则若先对x积分，的原函数不能用初等函数表示，因此改用另一种顺序的累次积分，于是有内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法若积分区域为X-型则若积分区域为Y-型则习题1、求其中D：2、求其中D：3、求其中D：谢谢！放映结束感谢各位观看！让我们共同进步