第7章 代数系统ppt课件.ppt

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1、第七章代数系统7.1代数运算与代数系统代数运算的定义代数运算的性质单位元、零元、逆元、幂等元、可约元代数系统7.1.1代数运算的定义设AA是A到A的函数集合，则合成运算·也是一个函数：AA×AA→AA，且运算·满足：结合律：h·(g·f)=(h·g)·f特殊元素1A：1A·f=f·1A=f乘幂：fm·fn=fm+n;(fm)n=fmn设Mn是n阶方阵的集合，则矩阵乘法·也是一个函数：Mn×Mn→Mn，且运算·满足：结合律：L·(M·N)=(L·M)·N特殊元素单位矩阵1n：1n·f=f·1n=f乘幂：

2、Mi·Mj=Mi+j;(Mi)j=Mij∑*上的连接运算

3、，空串ε也满足上述性质。抽象：设A是任意非空集合，*：A×A→A是A上的二元运算，*满足下述条件：结合律：∀x,y,z∈A,(x*y)*z=x*(y*z);特殊元素：∃e∈A,∀x∈A,e*x=x*e=x;乘幂运算：x0=e;xn+1=xn*x;xm*xn=xm+n;(xm)n=xmn7.1.2代数运算的性质二元运算1、封闭性*是集合A上的二元运算，*：A×A→A。S是A的非空子集。若x，y∈S，有x*y∈S,称*在S上是封闭的.例：A={x

4、｜x=2n，n∈N}，问乘法运算×在A上是否封闭，加法+，除法/呢？解：2r，2s∈A，2r×2s=2r+s∈A（r+s∈N）∴×运算在A上封闭但2，4∈A，2+4A，∴+运算在A上不封闭2，4∈A，2/4A，∴/运算在A上不封闭矩阵乘法·:Mn×Mn→Mn,M·N是二元运算，载体是Mn。减法-：I×I→I是I上的二元运算，但不是N上的运算；函数求逆运算：f-1是集合B={f

5、f是X上的双射函数}上的一元运算，但不是XX上的运算。对于具有载体S的一个代数，定义在载体S上的n元运算*是一个从Sn到

6、S的函数,所以一个代数的载体对于定义于其上的运算而言总是封闭的。代数常记为.2、结合律*是集合A上的二元运算，若x，y，z∈A，有x*(y*z)=（x*y）*z，称*满足结合律。例：*是集合A上的二元运算，若a，b∈A，有a*b=b，证明：*满足结合律.证：a，b，c∈A，a*（b*c）=a*c=c(a*b）*c=b*c=c∴a*（b*c）=（a*b）*c∴　*满足结合律设*是集合A上可结合的二元运算，则∀ai∈A,表达式a1*a2*...*an经任意加括号而计算出的结果不变。证：引入

7、符号Πi=1nai表示在a1*a2*...*an中从左至右依次加括号所得结果。Πi=1nai=(...((a1*a2)*a3)...*an-1)*an.用归纳法证明，任意加括号结果都等于Πi=1nai1）当n=1,2时，结论成立；2）假设当k

8、Πi=1mai)*(Πj=m+1naj)=(Πi=1mai)*((Πj=m+1n-1aj)*an)=((Πi=1mai)*(Πj=m+1n-1aj))*an=(Πi=1n-1ai)*an=Πi=1nai所以，结论成立。若*是可结合的，表达式a1*a2*...*an唯一的表示A中的一个元素。当a1=a2=...=an=a时，记为an,称为a的n次幂。设*是集合A上的可结合的二元运算，aA，m,nI+,有am*an=am+n,(am)n=amn.3、交换律*是集合A上的二元运算，若x，y∈A，有x

9、*y=y*x，称*满足交换律。例：设<有理数集，*>,*定义如下：a*b=a+b-ab，问*满足交换律否？证：∵a，b∈A(有理数集)，a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a∴*满足交换律。4.分配律设*，△是集合A上的二元运算，若x，y，z∈A有:x*(y△z)=(x*y)△(x*z)，称*对△左可分配；(y△z)*x=(y*x)△(z*x)，称*对△右可分配；若*对△既左可分配又右可分配，称运算*对△可分配。例：设A={，}，二元运算*，△定义如左:分配律成立否？*△

10、①证明：x△(y*z)=(x△y)*(x△z)证：当x=：x△(y*z)=;(x△y)*(x△z)=当x=：x△(y*z)=y*z;(x△y)*(x△z)=y*z同理可证(y*z)△x=(y△x)*(z△x)②运算*对运算△不可分配∵*（△）=*=（*）△（*）=△=定义:设*是A上二元运算，er，eI，0r，0ｌ，e，0A，有①.若xA，有el*x=x，称el为运算*的左幺元若xA，有x*er=