资源描述：
《离散数学--代数系统ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三部分代数结构引言代数系统群与环格与布尔代数2021/8/171引言数学的三大核心领域代数学：数学中研究数的部分几何学：数学中研究形的部分分析学：沟通形与数且涉及极限运算的部分总体来说：数学的三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。现在已经拥有100多个主要分支学科。2021/8/172引言代数学代数学是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。其范畴包括：算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数代数学发展的4个阶段:1文字叙述阶段2简化文字阶段3符号代数阶段
2、4结构代数阶段一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。2021/8/1731文字叙述阶段文字叙述阶段尚未形成任何简化的符号表达法；代数运算法则都是采用通常的语言叙述方式来表达；代数推理也都采用直观的方法。古代中国:算筹法算筹计数筹算开方法（九章算术）2021/8/1741文字叙述阶段而古希腊则借助于几何图形的变换方法最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras公元前585—497)几何数论方法。1+3+5+……+(2n-1)=n2不要认为简单的几何图形变换只能产生简单的代数结论，恰当地利用几何图形的变换有时也会产
3、生重要的代数结论2021/8/1752简化文字阶段简化文字阶段古希腊数学后期，数学家丢番图（Diophantus,公元250年）才开始把通常的语言叙述作简化，利用简化的文字符号代替一些相对固定的代数表达式。《算术》使用简化文字符号12345678910：平方：（希腊文幂”字为dumamis(△YNMIS)）立方：(立方的希腊文为kubos(KYBOS))2021/8/1763符号代数阶段符号代数阶段用字母表示数，这一过程使代数学达到了现在我们看到的这种符号演算形式。代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学公式、运算法则，并由
4、此进化为现代数学符号系统、现代数学公理系统。代表数学家德国数学家M.Stiefel(1486-1567)1553《综合算术》;用10进制小数表示实数法国数学家F.Viete(1540-1603)是第一个系统使用字母表示数的人，韦达在代数方程、三角学等许多方面都作了杰出的贡献。2021/8/1774结构代数阶段结构代数（抽象代数、近世代数）代数学的研究对象不再是个别的数字运算，而是抽象的运算系统(如群、环、域等)的代数结构。事实上不管是连续的还是离散的数学结构，常常是对研究对象（自然数,实数,多项式,矩阵,命题,集合,图等）定义种种运算（加,减,乘;与,或,非；交
5、,补等）然后讨论这些对象及运算的有关性质。2021/8/1784结构代数阶段代数系统由集合和集合中的一个或多个运算所组成的系统（即数学结构），称为代数系统，又称代数结构或抽象代数，它是用代数的方法构造出来的数学模型。代数系统的应用自动机理论编码理论形式语义学密码学等2021/8/179第9章代数系统9.1二元运算及性质9.2代数系统2021/8/17109.1二元运算及其性质9.1.1运算的定义9.1.2运算的表示方法9.1.3二元运算的主要性质9.1.4二元运算的特殊元素小结2021/8/17119.1.1运算的定义定义9.2(P166)设S是一个集合，函数f
6、:S→S称为S上的一个一元运算，简称为一元运算。例如：Z,Q和R上求相反数的运算非零有理数集Q*，非零实数集R*上求倒数运算复数集合C上求共轭复数的运算幂集P(S)上,全集为S，求绝对补运算~在Mn(R)(n≥2)上求转置矩阵2021/8/17129.1.1运算的定义定义9.1(P165)设S是一个集合，函数f:S×S→S称为S上的一个二元运算，简称为二元运算。问题：如何验证一个运算是否为S上的二元运算？S中任意两个元素可以进行这种运算，且结果唯一。S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。2021/8/17139.1.1运算的定义例9.1(P1
7、65)N上的＋、×Z上的＋、－、×R*上的×、／Mn(R)上的矩阵加法和乘法P(S)上的∪、∩、－、一般地：函数f:Sn→S称为S上的一个n元运算。2021/8/17149.1.2运算的表示方法1.函数解析式f(x1,x2,……,xn)2.算符用○· *等符号表示n元运算，称为算符。几种形式，如：前缀形式:○(x1,x2,…,xn)中缀形式:x1○x2○…○xn后缀形式:(x1,x2,…,xn)○2021/8/17159.1.2运算的表示方法3.运算表设S={a1,a2,…,an}，S上的一／二元运算可以用运算表的形式给出：ai○aia1○a1a2○a2………
8、…an○an○a1a2…
