第8章代数几何码ppt课件.ppt

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1、第8章代数几何码8.1代数几何的研究对象8.2仿射空间与仿射变换8.3射影空间与射影变换8.4在有限域上的仿射曲线与射影曲线8.5RS码与Goppa码8.6代数几何码的构成8.7代数曲线中的一些重要概念8.8Riemann-Roch定理8.9椭圆曲线码习题§8.1代数几何的研究对象代数几何是几何学中的一个重要研究领域，它研究平面代数曲线、空间代数曲线和代数曲面，更一般地，研究n维空间的代数簇。所谓代数簇，就是由一组代数方程所确定的点集以及由这些点集通过一定的规则导出的对象。例如，在普通直角坐标中，由代数方程F(x，y)＝

2、0所决定的曲线即为平面代数曲线，这里F(x，y)是关于变量x，y的二元多项式。平面上的直线、圆锥曲线都是代数曲线，但是y-sinx=0所决定的正弦曲线便不是代数曲线。类似地，由三元多项式F(x，y，z)＝0决定的点集即为代数曲面。两个无关且相容的三元代数方程组F1(x，y，z)＝0F2(x，y，z)＝0所决定的点集，即为空间代数曲线。一般地，由n元代数方程组Fi(x1，x2，…，xn)＝0i＝1，2，…，m所决定的点集即为代数簇。研究一次曲线(直线)及一次曲面(平面)，以及二次曲线和曲面是普通解析几何中的内容。在上一世

3、纪以前，代数几何是从研究三次及四次曲线及曲面的分类开始的。从19世纪末开始，人们才开始研究一般代数簇的系统结构。在代数几何的研究中采用拓扑学及抽象代数方法则是本世纪的事情。§8.2仿射空间与仿射变换定义8.2.1一个n维仿射空间AnK是点P，Q，R，…的集，满足:1°每一个有序点偶(P，Q)，恰有v∈VnK与之对应，记为PQ=v。2°每一个点P∈AnK及每一向量v∈VnK，恰有一点Q∈AnK使PQ＝v。3°对于AnK中任意三点P，Q，R，恒有PQ+QR＝PR设v∈VnK。由定义8.2.1之2°，对于每一点P∈AnK，恰有

4、一点Q∈AnK使PQ＝v。由此定义了AnK上的一个映射Tv∶P→Q，PTv＝Q称此映射Tv为AnK上的一个平移(见图8-1)。图8-1AnK上的一个平移图8–2AnK上的平移变换定义8.2.2设αm为n维仿射空间AnK的非空子集，Sm为VnK的m维向量子空间。如果在AnK与VnK的相应关系下，αm恰好是相应于Sm的一个仿射空间，则称αm是AnK的一个m维仿射子空间。AnK的一维仿射子空间α1称为直线，二维仿射子空间α2称为平面。图8–3A2K中的直线例如，考虑A2K中一条直线，它通过点P＝(p1，p2)，且该直线(作为一

5、维仿射空间)相应的一维向量子空间以v＝(v1，v2)为基底，如图8-3所示。设X＝(x1，x2)为该直线上任意一点。于是PX必为该直线相应的一维向量子空间中的向量，因而可写成PX＝ρv(ρ∈K)。又因PX＝OX-OP＝(x1，x2)-(p1，p2)＝(x1-p1，x2-p2)，ρv=(ρv1，ρv2)，故(x1-p1，x2-p2)＝(ρv1，ρv2)由于v≠0(基向量)，不妨设v1≠0。于是，由x1-p1＝ρv1得将ρ代入x2-p2=ρv2中，便有v2x1-v1x2+(v1p2-v2p1)＝0令a1=v2，a2＝-v1，

6、a0＝v1p2-v2p1，便有a1x1+a2x2+a0＝0(8.2.1)式中，a1、a2不全为0。反过来，每一个形如式(8.2.1)的一次方程均代表A2K中的一条直线。事实上，考虑满足方程式(8.2.1)的所有的点X＝(x1，x2)。由于a1，a2不全为0，不妨设a1≠0。于是x1＝-a-11(a0+a2x2)。选取P＝(-a-11a0，0)，v＝(-a2，a1)≠0，便有x＝(-a-11a0，0)+ρ(-a2，a1)＝p+ρvρ＝-a-11x2此处点x与点p为点X与P的位置向量。这表明方程式(8.2.1)代表通过点P且

7、由向量v构成的直线。设e1，e2，…，en为n维向量空间VnK的基底。设{0，e1，e2，…，en}为相应的n维仿射空间Ank的坐标系。设X＝(x1，x2，…，xn)为Ank中任意一点。所谓仿射变换是指线性变换Y＝CX+b(8.2.2)式中为域K上的非异矩阵，b＝(b1，…，bn)为AnK中一点。因此，仿射变换即为AnK上的非异齐次线性变换再加上平移。在变换式(8.2.2)之下，点X＝(x1，…，xn)变为点Y＝(y1，…，yn)。§8.3射影空间与射影变换引入n维仿射空间的出发点是n维向量空间。引入n维射影空间的出发点

8、则是域K上的n+1维向量空间Vn+1K。设v，w∈Vn+1K。若存在r≠0(r∈K)使w＝rv，则称向量v与w等价。在等价的意义下，Vn+1K中的全部向量被分成等价类。零向量0构成由自身代表的一类。记为［0］。如果一个类中包含向量v，则此类用［v］代表。定义8.3.1在Vn+1K中所建立的每一个异于［0］的类称为射影