微分几何课件 课件一：矢量代数小结.ppt

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1、矢量代数小结一．矢量代数一章内容回顾本章系统介绍了矢量的代数运算及其规律、几何意义.这实质上是阐述了空间结构代数化的过程。因为矢量可以运算,因此将几何结构矢量化,也就把代数运算带到了几何里来了。这一过程可以用下面的图表加以归纳概括：1、几何结构矢量化图表几何结构代数结构几何特征矢量形式有向线段、点矢量、径矢三角形、平行四边形矢量的加法、减法放大、缩小，定比分点数乘矢量、线性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构代数结构几何特征矢量形式有向线段、点矢量、径矢三角形、平行四边形矢量的加法、减法放大、缩小，定比分

2、点数乘矢量、线性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积A1、几何结构矢量化图表几何结构代数结构几何特征矢量形式有向线段、点矢量、径矢三角形、平行四边形矢量的加法、减法放大、缩小，定比分点数乘矢量、线性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构代数结构几何特征矢量形式有向线段、点矢量、径矢三角形、平行四边形矢量的加法、减法放大、缩小，定比分点数乘矢量、线性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构代数结构几何特征矢量形式有向线段、点矢量、径矢三角形、平行四边形矢量的加法、减法放大、缩

3、小，定比分点数乘矢量、线性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构代数结构几何特征矢量形式有向线段、点矢量、径矢三角形、平行四边形矢量的加法、减法放大、缩小，定比分点数乘矢量、线性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积1、几何结构矢量化图表几何结构代数结构几何特征矢量形式有向线段、点矢量、径矢三角形、平行四边形矢量的加法、减法放大、缩小，定比分点数乘矢量、线性运算长度、夹角数性积面积矢性积体积混合积矢量加法满足(1)(2)(3)(4)数乘矢量满足(5)(6)(7)(8)数性积满足(9)(10)(11)矢性积

4、满足(12)(13)(14)我们把矢量的集合记为V，由于V中定义了满足⑴--⑷的加法和满足⑸--⑻的数乘矢量连中运算,因此V构成高等代数里讲的实数域上的矢量空间，(或称线性空间);由于V又规定了满足⑼--⑽的数性积，因此我们称V是欧几里得矢量空间。因此在空间引进了以有向线段表示的矢量与满足⑴—⑷的加法运算、满足⑸—⑻的数乘矢量以及满足⑼—⑽的矢量的数性积，实际上是把空间的几何结构代数化为欧几里得矢量空间的一个模型。这样以来就可以把几何里的一些推论转化为这个欧几里得矢量模型上的以矢量的运算为基础的代数运算，因此代数的方法也就引入到几何里来了

5、。数量的关系。这个关系是通过建立坐标系沟通的。几何结构矢量化，只是将代数运算带到了几何里来，它可以研究几何里的一些定性问题，如：共线、共面、中点等。它还不能解决有关定量的问题，但许多几何问题研究的是数量关系，所以在几何中要进行数的计算，还要沟通几何结构（或矢量）与本章是通过矢量引进标架来建立坐标系和坐标概念的。在空间，给定一点O和不共线的三个矢量，则{O；}就叫做空间的一个标架.有了标架，空间的矢量或点就有了坐标。3.空间坐标系在空间坐标系下引进坐标以后，空间的点P就与有序数组(x,y,z)建立了一个一一对应关系，这个关系就叫做空间的坐标

6、系。在坐标系下，点有了坐标，矢量有了分量，作为空间点的轨迹的空间图形就有了方程，这就使得空间结构数量化了。这样不仅把有关几何图形的问题同矢量的运算联系起来了，而且使得矢量的运算转化为实数的运算，把几何问题的讨论推进到了可以进行计算的定量的层面，这样也就达到了数与形的结合,达到了用矢量方法解决几何问题的目的。4.主要结论及其代数表示引进坐标以后,矢量的运算转化为数量的计算.设在右手笛卡尔直角坐标系下，则5．矢量代数中某些结论（含数量表示）（1）与共线(平行)与线性相关不全为零的实数使可用或可用线性表出（2）共面线性相关不全为零的一组数使中至

7、少有一个是另两个的线性组合若不共线，则使其中被唯一确定唯一确定.而可由方程组解得.（4）不共面时，对空间任一矢量,有,且被使（3）用代数方法解决几何问题包括矢量方法和坐标标方法，坐标方法就是通过建立坐标系，使点有坐标，图形有方程，使几何结构数量化，把几何问题推到了可以计算的层面上。后面几章实际都是这种方法。而建立坐标系，可以直接建立，也可以通过矢量建立。我们采用的教材是通过矢量建立的。所以第一章安排矢量代数，既介绍了解决几何问题的矢量方法，又通过矢量引进了坐标，一举两得。二．（一老一新）两个重要几何命题的矢量证法用矢量方法解决中学几何问题

8、是用代数方法解几何问题的一个方面，国外早已使用，我们现在也也已把它纳入普通高中的新教材，我们应该注意学习这种方法。用矢量方法解决中学几何问题是中学教学研究中的一个热点内容,《数学通报》、《数学