《理学矢量代数》ppt课件

《《理学矢量代数》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、理论力学理论力学矢量代数基础1.矢量的概念标量：量度单位确定之后，仅用数的大小就可以完全表示的量称为标量。矢量：具有大小和方向，并遵从一定运算规则的量称为矢量。矢量用粗斜体字母a表示，在图中表示为一有向线段。矢量的大小称为它的模，表示为︱a︱，或a。若一矢量的模等于零，则称这个矢量为零矢量，表示为0。在此情况下，无所谓它的方向。模等于1的矢量称为单位矢量。aF2F1F3rVAAO矢量在图中的表示自由矢量与约束矢量上述定义的矢量有时也称为自由矢量，物理学中应用的某些矢量有时还具有一些附加的特征，有的教材称这类矢量

2、为约束矢量，包括定位矢量和滑动矢量。定位矢量：矢量的作用点为一确定位置。滑动矢量：矢量的作用点可以沿矢量的作用线自由滑动。2.矢量的加减法矢量相等：指两个矢量的大小和方向完全相同。记为a=b矢量相加：c=a+b遵从平行四边形法则或三角形法则。◆矢量相加的多边形法则AR=∑AiAR=∑AiAnA1+A2A1A2矢量相减归结为加法运算：矢量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+aa+(b+c)=(a+b)+cc=a－b=a+(－b)矢量的数乘实数λ与矢量a的乘积仍为矢量b=λa其中︱b︱=︱λ︱︱a︱λ>0b与a

3、同向λ<0b与a方向相反矢量的数乘满足分配律任意矢量可表示为其模与同方向单位矢量的乘积：A=A(A/A)=AeA式中eA为A方向的单位矢量：eA=A/A.λ(a±b)=λa±λb3.矢量的分解平面矢量的分解设A1和A2是平面内任意两个线性无关（不共线）的矢量，则平面上任意矢量可表示为：B=λ1A1+λ2A2正交分解B=Bx+By式中Bx⊥ByBOByBx空间矢量的分解设A1、A2、A3彼此线性无关（三矢量不共面，且其中任意两个矢量均不共线），则任意矢量B可表示为B=λ1A1+λ2A2+λ3A3正交分解B=Bx+

4、By+Bz式中Bx、By、Bz相互正交。BBxByBz4.矢量的标积与矢量在轴上的投影矢量A与B的标积也称为A与B的点乘，定义为A·B=︱A︱︱B︱cos(A,B)显然，矢量的标积是一个代数量。关于点乘的下列运算规律可由直接计算导出※A·B=B·A※A·(B+C)=A·B+A·C※λ(A·B)=(λA)·B=A·(λB)※A·A=※A⊥BA·B=0矢量在某轴上的投影设轴N上的单位矢量为en，则矢量A在轴N上的投影为An=A·en=︱A︱cos(A,en)注意矢量在轴上的投影An是一个代数量，正负号取决于A与e

5、n之间的夹角。矢量A在轴B上的投影:AB=A·eBAB=A·eBAθeBBcosθ=eA·eBBAθeAeB任意两个矢量A与B之间的夹角:合矢量投影定理设AR=∑Ai,用轴N上的单位矢量en点乘上式两边得en·AR=en·∑Ai=∑en·Ai因此ARn=∑Ain上式表明，合矢量在某轴上的投影等于各分矢量在同一轴上的投影的代数合。这一结论称为合矢量投影定理。5.矢量的矢积(叉乘)矢量A与B的矢积为一矢量，记作C=A×B其定义为大小︱C︱=︱A︱︱B︱sin(A,B)方向C⊥A与B所决定的平面指向由右手螺旋决定，换

6、句话说A、B、C组成右手系矢积的几何意义C=A×BBAθ

7、B

8、

9、A

10、sinθ关于叉乘的运算规律A×A=0A×(B+C)=A×B+A×Cλ(A×B)=(λA)×B=A×(λB)A×B=－B×AA与B共线A×B=0B×A=－A×BA×B约束矢量对点的矩作用于点P的定位矢量A对空间任意固定点O之矩定义为MO(A)=r×A式中r为矢量A的作用点P相对于定点O的矢径。注意到当矢量A沿其作用线PQ滑动时，并不影响矩MO(A)的大小和方向，故上述定义对滑动矢量同样是有效的。PQrMO(A)=r×A6.矢量的混合积矢量A、B、

11、C的混合积(A×B)·C为标量，其绝对值等于以A、B、C为棱边的平行六面体的体积。ABCA×Bh轮换公式A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)此外，显然有A、B、C共面A·(B×C)=07.基矢量沿空间直角坐标系Oxyz各坐标轴正向的单位矢量ex、ey、ez称为基矢量。有时也用i、j、k表示基矢量。eyexezxyzex·ex=ey·ey=ez·ez=1ex·ey=ey·ez=ez·ex=0ex×ex=ey×ey=ez×ez=0ex×ey=ez,ey×ez=ex,ez×ex=ey以上结果可由直接计算得出

12、。eyexez基矢量的正交性8.矢量的解析表达式◆任意矢量可表示成基矢量的线性组合A=Axex+Ayey+Azez式中Ax、Ay、Az分别为矢量A沿各坐轴的投影:Ax=ex·AAy=ey·AAz=ez·AAexeyez问题:分量Ax与投影Ax的区别是什么?◆矢量代数运算的投影表达式设A=Axex+Ayey+AzezB=Bxex+Byey+Bzez基本运算A±B=(Ax±Bx)ex+(A