《代数系统》PPT课件

《《代数系统》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、离散数学(II)吉林大学计算机科学与技术学院智能规划与自动推理教研室古典代数与近世代数古典代数的研究对象：方程以方程根的计算与分布为其研究中心近世代数的研究对象：代数系统古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近世代数古典代数的发展过程一元一次方程公元前1700年一元二次方程公元前几世纪巴比伦人一元三次方程我国：在公元七世纪一般的近似解法唐朝数学家王孝通《缉古算经》西方：16世纪意大利数学家卡丹公式CardanJ(1501～1576)闻名全欧的医生、颇为人知的数学教授精通赌博、占星术FontanaN（Tartaglia）（1500-1557）自学成才的意大利数学家、工程师、军事科学家。

2、以发现三次方程的一般解法和始创弹道学而闻名。1535年2月22日意大利米兰大教堂30个3次方程Tartaglia--2个小时Fior—0题1539年3月25日Cardan骗到公式并于1545年发表宣战：各出31题Tartaglia---7天FerrariL---5个月1题古典代数的发展过程古典代数的发展过程四次方程FerrariL化为求一个三次方程和两个二次方程的根五次方程失败：EulerL(1907--1983)、Vandemonde、LagrangeJL、RuffiniP、GaussKF19世纪法国青年数学家Galois:五次以上方程无根式解Galois(1811—1832)--近世代数的

3、创始人EvaristeGaloisGalois(1811—1832)--近世代数的创始人1829年3月发表第一篇论文1829年5月《关于五次方程的代数解法问题》CauchyA遗失；FourierJ去世1831年《关于用根式解方程的可解性条件》PoissonSD:“完全不能理解”1829年父亲自杀；两次投考巴黎综合工科学校被拒绝，进入高等师范学校学习1830年12月因抨击校长在“七月革命”中的两面行为被开除Galois(1811—1832)--近世代数的创始人1831年6月—7月两次被捕1832年5月29日“请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性而不是正确性发表的他们看法。在这以后，我希望有人

4、会发现将这堆东西整理清楚对他们是有益的。”1832年5月29日决斗身亡1846年LiouvilleL《纯粹与应用数学杂志》1870年Jordan《论置换与代数方程》Galois(1811—1832)—超越时代的天才开创了置换群论的研究，彻底解决了一般方程的根式解难题。发展了一整套关于群和域的理论--伽罗瓦理论。创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程，标志着数学发展现代阶段的开始。用Galois理论可解决古希腊四大几何做图难题：将任意角三等分、倍立方、化圆为方、作正n边形近世代数的特点--抽象代数系统：群环域格布尔代数离散数学II第六章群与环§6.1代数系统代数运算的定义及其性质代数

5、系统的定义二元代数运算设S是一个非空集合，称S×S到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素a，b，通过f，唯一确定S中一个元素c：f（a，b）=c，常记为a*b=c。Note：代数运算是闭运算。该运算具有很强的抽象性，不限于+，-，*，/，意义很广泛。类似地，可定义S的n元代数运算：Sn到S的映射。代数运算的定义加法和乘法是自然数集N上的二元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算加法、减法、乘法都是整数集Z上的二元代数运算；除法不是Z上的二元代数运算乘法、除法是非零实数集R*上的二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代数运算代数运算的例子矩阵加法和乘法是n阶实矩阵

6、集合上的二元代数运算。设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，则∩、∪是ρ（S）上的二元代数运算。∧、∨、→、都是真值集合{0，1}上的二元代数运算。代数运算的例子设*是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b∈S，a*b=b*a都成立，则称运算*满足交换律。例.设Q为有理数集合，对任意a,b∈Q,定义Q上的运算☉如下：a☉b=a+b-a•b，则☉是Q上的二元代数运算，且满足交换律：a☉b=a+b-a•b=b+a-b•a=b☉a代数运算的性质—交换律设*是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b，c∈S，(a*b)*c=a*(b*c)都成立，则称运算*满足结合律。例.设A是一个非空集合，

7、对任意a,b∈A，定义A上的运算☉如下：a☉b=b，则☉是A上的二元代数运算，且满足结合律:(a☉b)☉c=b☉c=ca☉(b☉c)=a☉c=c代数运算的性质—结合律设*是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如果a*a=a,则称a是关于运算*的幂等元。如果S中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算*满足等幂律。结论：若a是关于运算*的等幂元，则对于任意正整数n，an=a.代数运算的性质—等幂律设