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时间:2020-09-15
《2015步步高理科数学专题一.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题一 高考中的导数应用问题1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)答案 D解析 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f′(x)=[(x-3)·ex]′=1·ex+(x-3)·ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.2.已知函数f(x)=asin2x-sin3x(a为常数)在x=处取得极值,则a的值为( )A.1B.0C.D.-答案 A解析 ∵f′(x)=2acos2x-cos3x,∴f′=2acos
2、π-cosπ=0,∴a=1,经验证适合题意.3.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有
3、f(x1)-f(x2)
4、≤t,则实数t的最小值是( )A.20B.18C.3D.0答案 A解析 因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1,可知-1,1为函数的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.4.已知函数f(x)=在
5、[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围为__________.答案 [e,+∞)解析 f′(x)==,因为f(x)在[1,+∞)上为减函数,故f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,即lna≥1-lnx在[1,+∞)上恒成立.设φ(x)=1-lnx,φ(x)max=1,故lna≥1,a≥e.5.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是__________.答案 [-2,-1]解析 由题意知,点(-1,2)在函数f(x)的图象上,故-m+n=2.①又f′(x)=3mx2+2nx
6、,则f′(-1)=-3,故3m-2n=-3.②联立①②解得:m=1,n=3,即f(x)=x3+3x2,令f′(x)=3x2+6x≤0,解得-2≤x≤0,则[t,t+1]⊆[-2,0],故t≥-2且t+1≤0,所以t∈[-2,-1].题型一 利用导数研究函数的单调性例1 已知函数f(x)=x2e-ax,a∈R.(1)当a=1时,求函数y=f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程.(2)讨论f(x)的单调性.思维启迪 (1)先求切点和斜率,再求切线方程;(2)先求f′(x),然后分a=0,a>0,a<0三种情况求解.解 (1)因为当a=1时,f(x)=x2e-x,f′(x)=2xe
7、-x-x2e-x=(2x-x2)e-x,所以f(-1)=e,f′(-1)=-3e.从而y=f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-3e(x+1),即y=-3ex-2e.(2)f′(x)=2xe-ax-ax2e-ax=(2x-ax2)e-ax.①当a=0时,若x<0,则f′(x)<0,若x>0,则f′(x)>0.所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为增函数.②当a>0时,由2x-ax2<0,解得x<0或x>,由2x-ax2>0,解得00时,函数f(x)在区间(-∞,0),(,+∞)上为减函数,在区间(0,)上
8、为增函数.③当a<0时,由2x-ax2<0,解得0,解得x<或x>0.所以,当a<0时,函数f(x)在区间(-∞,),(0,+∞)上为增函数,在区间(,0)上为减函数.综上所述,当a=0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(-∞,0),(,+∞)上单调递减,在(0,)上单调递增;当a<0时,f(x)在(,0)上单调递减,在(-∞,),(0,+∞)上单调递增.思维升华 (1)判断函数的单调性,求函数的单调区间、极值等问题,最终归结到判断f′(x)的符号问题上,而f′(x)>0或f′(x)<0,最终可转化为一个一元一
9、次或一元二次不等式问题.(2)若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解. 已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.解 (1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f′(x)=3x2+2ax-1.当x=时,得a=f
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